cours courbes de niveau

Première L
1
1.1
cours courbes de niveau
Repérage dans l’espace
Définitions
→ → →
Soit O un point de l’espace et i , j , k trois vecteurs non coplanaires.
A chaque point M de l’espace on peut associer d’une façon unique, trois nombres
→
→
→
→
réels a, b et c tels que : OM = a i + b j + c k .
On dit que le triplet (a,b,c) représente les coordonnées du point M dans le
→ → →
repère (O ; i , j , k ).
1.2
Détermination
Soit M un point de l’espace. on note m son projeté dans le plan xOy parallèlement
à (Oz).
Les deux première coordonnées xM et yM de M sont définies par xM = a et yM = b
→→
où a et b sont les coordonnées du point m dans le repère (O ; i , j ).
→
→
La troisième coordonnée c est définie par l’égalité : mM = c k .
z
c
M
b
0
a
y
m
x
1
Première L
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cours courbes de niveau
Fonction de deux variables
Exemple :
L’indice de Masse Corporelle (IMC) (ou indice de Quételet), d’une personne se
P
définit en calculant
avec le poids P en kg et la taille T en m.
T²
Un IMC normal est compris en 18,5 et 25. Un indice supérieur à 30 traduit une
obésité marquée.
La fonction I (pour IMC) est une fonction des deux variables P et T.
P
Comme pour les fonctions d’une seule variable, on note I(P,T) =
.
T²
66
≈ 21,3
Par exemple I(66,1,76) =
1,76²
→ → →
Dans un repère (O ; i , j , k ) de l’espace, l’ensemble des points M de coordonnées
x
(P,T,I) est une surface représentée ci-dessous et dont l’équation est z =
y²
Les zones de couleur sont séparées par des lignes qui représentent les valeurs de
l’IMC lisibles sur l’axe vertical.
70
60
50
40
30
20
10
0
130
110
90
Po
ids
70
(kg
)
50
2,2
2,1
2
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
IMC
1,4
Taille (m)
2
Première L
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cours courbes de niveau
Courbes de niveau
La surface précédente est représentée ci-dessous en « vue de dessus ».
On voit des zones de couleur séparées par des lignes sur lesquelles l’IMC est
constant.
Ce sont les courbes de niveau de l’IMC.
Les niveaux représentés ici sont les niveaux 20, 30, 40, 50 et 60.
130
120
110
100
90
Poids (kg)
80
70
60
2,2 2,1
2
50
1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4
Taille (m)
La courbe de niveau a de la fonction I est l’ensemble des points du plan xOy pour
lesquels I(x,y) = a
3
Première L
4
4.1
cours courbes de niveau
Observation de quelques exemples
Courbes de niveau d’une demi-sphère
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
3
2
1
-0,8
0
-1
-2
-3
1,4
-3
2,6
1,8
1
0,2
-0,6
-1,4
2,6
1,8
1
0,2
-0,6
-1,4
-2,2
-3
-2,2
-3
Les courbes de niveau sont des cercles concentriques de plus en plus resserrés
quand on s’éloigne du centre.
4
Première L
cours courbes de niveau
4.2 Courbes de niveau d’un plan
3
2
1
0
-1
-2
2,2
-0,4
-3
0,00
-3,00
-6,00
-9,00
-12,00
-15,00
-18,00
-21,00
-3
Les courbes de niveau sont des droites parallèles régulièrement espacées.
4.3 Courbes de niveau d’un cône
3,00
2,75
2,50
2,25
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
-0,42
0,42
0,14
-0,14
-0,42
0,02
5
Première L
cours courbes de niveau
0,42
0,3
0,18
0,06
-0,06
-0,18
0,24
0,02
-0,2
-0,42
-0,3
-0,42
Les courbes de niveau sont des cercles concentriques régulièrement espacés.
6
Première L
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cours courbes de niveau
Interprétation des courbes de niveau
Sur cet extrait d’une carte topographique au 1 : 25 000e, les courbes de niveau
représentent les altitudes de 10 m en 10 m.
5.1
Distance entre courbes de niveau
Dans l’exemple 1, on observe une zone de resserrement des courbes de niveau.
Sur le terrain, cela correspond à une variation rapide de l’altitude : ici le bord
d’une falaise.
5.2 Maximum et minimum
Dans l’exemple 2, on observe que les courbes de niveau se referment. Cette
configuration évoque un sommet ou une dépression. Seules les valeurs indiquées
sur les lignes de niveau permettent de distinguer les deux cas.
5.3 Profil d’une balade
En mesurant les distances horizontales sur la carte et en relevant les altitudes
grâce aux courbes de niveau, on peut construire, ici sur tableur, le profil du
parcours suivi.
7
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cours courbes de niveau
0
Sur la carte (en
mm)
Distance (en m)
altitude (en m)
1
5
8
12
15
18
22
29
34
37
38
39
0 25 125 200 300 375 450 550 725 850 925 950 975
1211 1210 1200 1190 1180 1177 1180 1190 1200 1200 1200 1210 1212
du Tourrel à la Cabane
Altitude (m)
1220
1210
1212
1211
1200
1190
1177
1180
1170
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Distance horizontale parcourue (m)
Les points relevés sont de deux sortes :
les points dont l’altitude est indiquée sur la carte (1211 ; 1177 et 1212)
les points d’intersection du parcours avec les courbes de niveau.
8