Exercice n°3 : Evolution de l`atmosphère terrestre avec l`altitude

Leçon n° 1 : Utilisation du logarithme et de lʹexponentielle PHR 101 Exercice n°3 : Evolution de l'atmosphère terrestre avec l'altitude On considère que l'atmosphère terrestre est isotherme et que les molécules obéissent au modèle des gaz parfaits. On suppose en fait que les molécules sont toutes identiques ce qui revient à remplacer les molécules réelles par un seul type de particules, fictif, de masse convenable m. On désigne par n(z) le nombre de particules par unité de volume à l'altitude z (no est le nombre de particules par mètre cube au niveau du sol). On désignera par p(z) la pression à l'altitude z. On considère un volume d'épaisseur dz limité par deux surfaces S = 1 m² l'une à l'altitude z l'autre à l'altitude z + dz (figure 5).. z z+dz z S = 1 m² dz S = 1 m²
o ter re Figure 5 : Les altitudes z sont repérées par rapport à l'axe verticale oz. 1 N. FOURATI ENNOURI Leçon n° 1 : Utilisation du logarithme et de lʹexponentielle PHR 101 Solution 1) Le volume occupé par les particules est égal à S. dz Or nbre de particules nbre de particules =
Þ nbre de particule = n( z) ´ S dz unité de volume
S. dz n( z) =
La pression est par définition égale au rapport entre la force et le poids : p ( z ) = F ( z ) S Dans notre cas F n’est autre que le poids. p ( z + dz ) =
m ( z + dz ) g S et
p ( z ) = [m ( z + dz ) + m ( z ) ]g S NB : Ce sont les particules qui se trouvent au dessus des surfaces qui interviennent dans le calcul du poids, c’est ce qui fait que nous avons plus de particules à l’altitude z qu’à l’altitude (d+dz). p ( z + dz ) - p ( z ) = -
m ( z ) g S m(z) = m n(z) S dz d’où : p(z + dz) – p(z) = - [m n(z) dz] .g ou encore dp = ­ mg n(z) dz 2) La relation des gaz parfaits pour une mole de particule à l'altitude z est p(z) VM = R T
2 N. FOURATI ENNOURI Leçon n° 1 : Utilisation du logarithme et de lʹexponentielle PHR 101 3) Le volume molaire VM(z) en m 3 correspond au volume occupé par N particules (nombre d'Avogadro N ; 6,6 10 23 ) donc n(z) sera n(z) = N VM (z) 4) Bilan des relations : dp = ­ mg n(z) dz (1) p(z) VM = R T (2) N VM (z) (3) n(z) = La relation des gaz parfaits (2) et l’équation (3) permettent d'éliminer le volume molaire VM(z) et on obtient une relation entre p(z) et n(z) p(z)
R = T = KT n(z)
N p(z) = n(z) KT à température constante la pression d'un gaz ne dépend que du nombre de molécules par unité de volume. En différentiant cette relation (la température T étant une constante), on obtient dp(z) = K T d n(z) d'où en utilisant le résultat du 1°) on obtient l'équation différentielle reliant la densité de particules n et l'altitude z. dn(z)
m g = - dz n(z)
K T
En intégrant nous avons : æ m g z ö
n(z) = n o exp ç ÷
è K T ø c'est la répartition de Boltzmann, l'allure de l'évolution de n(z) avec l'altitude est représentée sur la figure 20 pour deux températures T1 et T2 avec T2 > T1.
3 N. FOURATI ENNOURI Leçon n° 1 : Utilisation du logarithme et de lʹexponentielle PHR 101 n(z) particules m ­3 n o T2 > T1 T1 o o z altitude
Evolution du nombre de particules par unité de volume dans l'atmosphère terrestre en fonction de l'altitude Il est important que remarquer que mgz représente l'énergie potentielle de gravitation W(z) d'une particule et que l'on peut avoir l'évolution de la densité de ces particules n(z) en fonction de cette énergie potentielle de gravitation W(z). 4 N. FOURATI ENNOURI