racine nieme

Racine nième arithmétique a et b sont des nombres strictement positifs ; n un entier ≥ 2 €
I. Définition €
€
€
n
a est le nombre positif dont la puissance n ième est égale à a . Autrement dit : €
( a)
n
n
= a ou encore : €
€

x n = a€
⇔x=n a x >0 
€
€
€
€
n
n
Remarque 1 : si n est pair, l’équation x = a a deux solutions x = ± a (exemple : x 4 = 16 ⇔ x = ±2 ) et l’équation x n = −a n’a pas de solution (comme par exemple x 4 = −16 ). Autrement dit n −a n’existe pas si n est pair. €
€
€
€
€
x n = a a une solution unique positive x = n a Remarque 2 : si €n est impair, l’équation 3
n
(exple : x = 27 ⇔ x = 3) et l’équation x = −a a une solution unique négative x = n −a = − n a (exple : x 3 = −27 ⇔ x = −3 ). Autrement dit, n −a = − n a si n est impair. €
€
€
€
€
€ n = 2 on écrit a au lieu de 2 a €
€
Remarque 3 : si a sous forme d’une puissance II. €
Ecriture de la racine nième de €
€
1
n
1. Définition de a €
1
€
a
On définit n en supposant que cette puissance de a suit les mêmes règles de calcul que les puissances entières. €
€
1
 1 n
n
n
a
=
a
a
Alors  
. Ainsi n vérifie l’équation x = a .  
1
n
( )
n
an
On montre que €
€ a est égal à a et on a €
1
n
= n an = a ième €
2. Propriétés des racines n
€
€
n
n
1
n
0 =0=0 1
n
1 =1=1 €
( a)
n
= a = (a
1
n n
)
 1 n
= a n   
n
a =
n
ab = n a × n b = ( ab) n = a n × b n €
n
n
€
n
€
1
1
a na
=
b nb
1
1
1
 an an
  = 1 b
bn
et aussi (avec m ≥ 2 ) : €
n
€
m
nm
a = a=mn a €
1
1
1
 1 n
 1 m
m
mn
a  = a = a n   
 
€
(exple : 3
3
64 = €
64 = 6 64 = 2 ) €
−
3. a
1
n
=
n
1
1
= 1 a
an
1
€
Exercice : écrire l’expression (53 ) 3 ×
€
(
3
125
)
−1
sous la forme d’une seule puissance.