Vecteurs et repérages

VECTEURS ET REPERAGES
I) Vecteurs
1) Vecteurs égaux
r
r
Définition : Deux vecteurs u et v sont égaux signifie qu'ils ont :
- même direction,
- même sens,
- même longueur.
B
Théorème :
uuur
uuur
• Si les vecteurs AB et CD sont égaux alors ABDC est un
parallélogramme.
uuur
uuur
• Si ABDC est un parallélogramme alors les vecteurs AB et CD
sont égaux.
D
A
C
uuur
uuur
Remarque : On résume le théorème précédent en écrivant « les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC
est un parallélogramme ».
2) Somme de vecteurs
r
r
• Règle du parallélogramme : les vecteurs u et v sont
positionnés sur la même origine.
• Relation de Chasles : Soit trois points A, B et C, on a :
uuur uuur uuur
AB + BC = AC .
r r
r
La somme u + v s’obtient en enchaînant bout à bout u et
r
v.
r r
u+v
r
u
C
r r
u+v
r
v
r
v
A
r
u
B
II) Produit d’un vecteur par un nombre réel
r
Définition : u désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
r
r
Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur ku tel que :
r
r
• ku et u ont même direction ;
• Lorsque k > 0
• Lorsque k < 0
r
r
r
r
• ku et u sont de même sens ;
• ku et u sont de sens
r
‚ la longueur de ku est le
contraire ;
r
‚ la longueur de ku est le
produit de k par la longueur de
r
u.
produit de .k par la longueur
r
de u .
r
u
3r
u
2
1r
− u
2
r
−2u
r
−u
III) Vecteurs colinéaires
1) Définition et théorème
r
r
Définition : Les vecteurs u et v sont colinéaires lorsqu’ils ont même direction.
r
r
Théorème : Les vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k non nul tel que
r
r
v = ku .
Vecteurs et repérages 1/3
r
r
r
r
r
r
Remarque : Une telle relation v = ku entre les vecteurs u et v est appelée relation de colinéarité liant u et v ; et k est
parfois appelé le coefficient de colinéarité.
2) Alignement, parallélisme et vecteurs colinéaires
Théorème :
uuur
uuur
• Si les trois points A, B et C distincts sont alignés alors les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
uuur
uuur
• Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires alors les trois points A, B et C distincts sont alignés.
uuur
Remarque : On résume le théorème précédent en écrivant « les vecteurs AB
uuur
et AC sont colinéaires si et seulement si les trois points A, B et C distincts
sont alignés ».
C
B
Méthode : Pour montrer que trois points sont alignés, il suffit de montrer
que des vecteurs bien choisis sont colinéaires.
A
B
Théorème : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les
uuur
uuur
vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Méthode : Pour montrer que deux droites sont parallèles, il suffit de montrer
que des vecteurs bien choisis sont colinéaires.
D
A
C
IV) Coordonnées d’un point et d’un vecteur ; propriétés
1) Coordonnées d’un point, d’un vecteur
Définition : Un repère du plan est déterminé :
• par 3 points O, I et J non alignés ;
r
r
• ou par un point O et deux vecteurs i et j non colinéaires.
r r
O étant un point du plan, on considère le repère ( O, i , j ) d’origine O.
r r
r
r
Définition : Pour tout vecteur u , il existe un unique couple (x ; y) de nombre réels tels que u = xi + yj . On dit alors que
r r
r
le vecteur u a pour coordonnées (x ; y) dans la base ( i , j ) .
r r
r
v = −4 i + j
r
r r
r
r
j
Exemples : Dans la base ( i , j ), les coordonnées de u sont (3 ; 1) et v a pour
r
− 4i
coordonnées (.4 ; 1).
r r
r
u = 3i + j
r
j
r
i
r
3i
r
j
Vecteurs et repérages 2/3
uuuur
r r
Définition : Pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x ; y) de nombres réels tels que OM = xi + yj .
r r
Le point M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère ( O, i , j ) .
M (3 ;4)
uuuur
r
r
r r
Exemples : On a : OM = 3 i + 4 j ; M a pour coordonnées (3 ; 4) dans le repère ( O, i , j ) .
r
4j
r
j
2) Propriétés des coordonnées d’un vecteur
r
i
O
r
3i
r
r
Soit u de coordonnées (x ; y) et u ′ de coordonnées (x’ ; y’) ; soit A et B deux points de
coordonnées respectives
r r
(xA ; y A) et (xB ; y B) dans le repère ( O, i , j ) .
Propriétés :
Egalité de deux vecteurs : deux vecteurs sont égaux si et
seulement si ils ont mêmes coordonnées ;
 x = x′
r r
u = u ′ si et seulement si 
.
y = y '
Exemples :
r
u a pour coordonnées ( . 2 ; 3)
Somme de deux vecteurs :
r r
le vecteur u + u ′ a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’ ).
u ′ a pour coordonnées ( . 5 ; 1)
r r
u + u ′ a pour coordonnées ( ….. ;….. )
r
r
Vecteur colinéaire : le vecteur v égal à k u a pour
coordonnées (kx ; ky).
r
u a pour coordonnées ( . 2 ; 3)
r
. 5 u a pour coordonnées ( ….. ;….. )
2 ur a pour coordonnées ( ….. ;….. )
3
uuur
uuur
Coordonnées du vecteur AB : le vecteur AB a pour
coordonnées (xB . xA ; y B . y A).
A a pour coordonnées ( . 1 ; 2)
B a pour coordonnées ( 3 ; . 4)
AB a pour coordonnées ( ….. ;….. )
3) Condition de colinéarité de deux vecteurs
r
r
Théorème : Deux vecteurs u de coordonnées (x ; y) et u ′ de coordonnées (x’ ; y’) sont colinéaires
si et seulement si x y’ = x’ y.
4) Milieu ; distance dans le plan
r r
Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; y A) et (xB ; y B) dans le repère ( O, i , j ) .
 x + xB yA + yB 
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées  A
;
2
2 

Exemples : A a pour coordonnées ( . 1 ; 2) ; B a pour coordonnées ( 7 ; . 4) ;
le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( ….. ;….. ).
r r
Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; y A) et (xB ; y B) dans un repère orthonormal ( O, i , j ) .
La distance AB ou la longueur du segment [AB] est : AB =
(xB −xA )
2
+ ( yB − y A ) .
2
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