Déterminants - Université de La Rochelle

Agrégation interne de Mathématiques
Département de Mathématiques
Université de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Déterminants
Définition 1. – Déterminant d’une matrice
On définit par récurrence le déterminant, noté det(A), de A ∈ Mn (k).
a. Si n = 1, A s’identifie a ∈ k. On pose det(A) = a.
b. Supposons n ! 2 et le déterminant défini pour toute matrice de Mn−1 (k).
A = (aij )ij ∈ Mn (k), alors
Soit
det(A) = a11 ∆11 − a21 ∆21 + · · · + (−1)n+1 an1 ∆n1
où ∆i1 est le déterminant de la matrice de Mn−1 (k) obtenue à partir de A en supprimant la
première colonne et la i-ème! ligne.
!
! a11 · · · a1n !
!
!
!
.. !.
On note aussi det(A) = ! ...
. !!
!
! an1 · · · ann !
Exemple 2. – Soit A = (aij )1!i,j!n ∈ Mn (k).
a. Supposons n = 2. On obtient
∆11 = a22 ,
∆22 = a11 ,
Par conséquent, det(A) = a11 a22 
− a12 a21 .
a11 a12

b. Supposons n = 3. Alors A = a21 a22
a31 a32
∆11
D’où
!
!a
= !! 22
a32
!
a23 !!
,
a33 !
∆21
∆21 = a12 ,
∆12 = a21

a13
a23  et
a33
!
!a
= !! 12
a32
!
a13 !!
,
a33 !
∆31
!
!a
= !! 12
a22
!
a13 !!
a23 !
det(A) = a11 ∆11 − a21 ∆21 + a31 ∆31
= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a12 a31 a23 − a31 a13 a22
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a33 a12 a21
On obtient ainsi la règle de Sarrus.
Théorème 3. – Propriétés du déterminant
Soit A, B ∈ Mn (k). Alors
det(AB) = det(A) det(B)
Preuve – Admise.
et
det(t A) = det(A)
"
– 2 – Déterminants
Remarque 4. – D’après la propriété sur la transposée, tout résultat obtenu sur les colonnes
est valable pour les lignes et réciproquement. Entre autre, on peut développer le déterminant
par rapport à la première ligne.
Définition 5. – Matrice triangulaire
Soit A = (aij )1!i,j!n ∈ Mn (k). On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si
aij = 0 pour i > j, une matrice triangulaire inférieure si aij = 0 pour i < j, une matrice
triangulaire supérieure strictement si aij = 0 pour i ! j, une matrice triangulaire
inférieure strictement si aij = 0 pour i # j.
Proposition 6. – Déterminant de certaines matrices
a. Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure ou inférieure est égal au produit des
termes de la diagonale.
b. Soit i, j = 1, . . . , n (i #= j), λ ∈ k∗ et µ ∈ k. Alors
&
'
&
'
det(In ) = 1, det(Tij ) = −1, det Di (λ) = λ, det Uij (µ) = 1
Preuve – a. Si la matrice est triangulaire supérieure, la démonstration se fait par
récurrence et si la matrice est triangulaire inférieure, sa transposée est triangulaire supérieure
et les deux matrices ont même éléments diagonaux.
b. D’après a., on calcule facilement le déterminant de In , Di (λ) et Uij (µ). Pour Tij , en
supposant i < j, on a
!
!
!
!1
!
!
.
!
!
..
!
!
0
!
!
!
!0 0 ··· 0 1
!
!
!
!
1
!
!
!
!0 1
0
!
!
!
!.
0 0 ··· 0 1
!
!
.
.
!
!.
..
..
!
!
.
!
!
0 1
0
!
!
!
!
!
!
1 0
!
!0
..
..
.
!
!
.
det(Tij ) = !
!
.
.
.
! = !! 1 0 · · · 0 0
!
!
!
!
!
0
1 0
!
!
1
!
!
!
!
!
!
1 0 ··· 0 0
!
!
.
!
!
..
!
!
!
!
1
!
!
!
!
!
1!
..
!
!
.
0
!
!
!
1!
!
!
!
!0 ··· 0 1
!
!
!
!1
0
!
!
.
..
!
!
.
.
.
!
!
!
!
1 0
= (−1)j−i !
!
!
!
1
!
!
!
!
.
!
!
..
!
!
!
1!
!
!
!1
!
!
!
..
!
!
.
!
!
!
!
1
!
!
= (−1)j−i (−1)j−i−1 !
!
1
!
!
!
!
.
!
!
..
!
!
!
1!
= −1
"
F. Geoffriau
Déterminants
–3–
Théorème 7. – Déterminant et opérations élémentaires
a. Si on permute deux lignes (resp. deux colonnes) d’un déterminant, le déterminant change
de signe.
b. Si on multiplie une ligne ou une colonne par un scalaire λ ∈ k, le déterminant est multiplié
par λ.
c. Si on ajoute à une ligne (resp. une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes
(resp. colonnes), le déterminant est inchangé.
Preuve – Ce sont des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice
et donc le déterminant de la matrice est multiplié par le déterminant des matrices de
transposition, d’affinité ou de transvection correspondantes.
"
Corollaire 8. – Nullité d’un déterminant
a. Si tous les termes d’une ligne (resp. colonne) sont nuls, le déterminant est nul.
b. Si deux lignes (resp. deux colonnes) sont identiques, alors le déterminant est nul.
Preuve – a. Si on multiplie la ligne par −1, le déterminant est multiplié par −1. Mais
puisque la ligne (resp. colonne) est nulle, on retrouve le même déterminant. Ainsi le
déterminant est nul.
b. Si on permute ces deux lignes (resp. colonnes), le déterminant est multiplié par −1 d’après
la propriété précédente, mais on retrouve le même déterminant car les lignes (resp. colonnes)
sont identiques. Donc le déterminant est égal à son opposé, il est nul. On peut aussi retrancher
l’une des lignes (resp. colonnes) à l’autre.
"
Remarque 9. – a. Pour A ∈ Mn (k) et λ ∈ k, det(λA) = λn det(A).
b. Le déterminant d’une somme n’est pas généralement égal à la somme des déterminants.
Par exemple
(
1
4
A=
2 −1
det(A) = −9
)
(
)
2 5
B=
3 1
det(B) = −13
(
)
3 9
A+B =
5 0
det(A + B) = −45 #= det(A) + det(B)
Théorème 10. – Matrice inversible et déterminant
Une matrice A ∈ Mn (k) est inversible si et seulement si det(A) #= 0 et dans ce cas
det(A−1 ) =
1
det(A)
Preuve – Si A est inversible, on a
det(A) det(A−1 ) = det(AA−1 ) = det(In ) = 1
et donc det(A) est inversible et 1/ det(A) = det(A−1 ).
Réciproquement, si A n’est pas inversible, rg A < n et donc les vecteurs-colonne de A
forment une famille liée. En ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres
colonnes, on peut faire apparaı̂tre une colonne nulle. Et donc le déterminant de A est nul. "
Définition 11. – Mineur, cofacteur
Soit A = (aij )1!i,j!n ∈ Mn (k). Pour i, j = 1, . . . , n, on appelle mineur de A, le déterminant
∆ij de la matrice de Mn−1 (k) obtenue de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne
et on appelle cofacteur de aij le scalaire (−1)i+j ∆ij .
F. Geoffriau
– 4 – Déterminants
Théorème 12. – Développement du déterminant
Soit A = (aij )1!i,j!n ∈ Mn (k). Avec les notations de 11, pour i, j = 1, . . . , n, on a
det(A) =
n
*
n
*
(−1)i+k aik ∆ik =
k=1
(−1)h+j ahj ∆hj
h=1
La première expression est appelée le développement de det(A) suivant la i-ème ligne de A
et la deuxième le développement suivant la j-ème colonne.
+n
Preuve – Pour j = 1, h=1 (−1)h+j ahj ∆hj = a11 ∆11 − a21 ∆21 + · · · + (−1)n+1 an1 ∆n1 est
par définition le déterminant de A.
Pour j ! 2, en faisant j −1 permutations de colonnes, on obtient une matrice B déduite de
A par déplacement de la j-ème colonne en première position. Les mineurs de B par rapport
à la première colonne sont égaux à ceux de A par rapport à la j-ème colonne. Donc
det(A) = (−1)
j−1
det(B) = (−1)
j−1
n
*
h=1
(−1)
h+1
ahj ∆hj =
n
*
(−1)h+j ahj ∆hj
h=1
Le développement de det(A) suivant la i-ème ligne est égal au développement de det(t A)
par rapport à la i-ème colonne. On conclue puisque A et t A ont même déterminant.
"
Exercice 13. – Calculer les déterminants des matrices suivantes :






1 0 −2 −1
1 4 3
2 0 3
−1 2
4
5
 −8 1 2 ,  1 0 4 , 


4 3 −5
2
2 5 1
2 5 7
5 1
6 12
Solution – On a
!
! 1
!
! −8
!
! 2
!
!
!
!
!
!1
!
4
3
4 3 !!
! 33
!
!
26 !!
!
!
!
!
= −87
33 26 ! = !
1 2! = !0
−3 −5 !
!
!
!
0 −3 −5
5 1
!
!
!
!
!2 0 3!
!
!
!
!
! 1 0 4 ! = −5 ! 2 3 ! = −25
!
!1 4!
!
!2 5 7!
!
!
! 1 0 −2 −1 !
!
!
4
5!
! −1 2
!
!=0
2!
! 4 3 −5
!
!
5 1
6 12
Pour le dernier déterminant, la quatrième colonne est la somme des trois premières, il est
donc nul.
"
Remarque 14. – Ainsi pour calculer un déterminant, par des opérations élémentaires sur
les lignes ou les colonnes, on fait apparaı̂tre des 0 sur une ligne ou une colonne et on développe
par rapport à cette ligne ou colonne.
Attention, à chaque étape intermédiaire, ne faire qu’une opération et plutôt une transvection (qui ne modifie pas le déterminant).
Définition 15. – Comatrice
Soit A = (aij ))1!i,j!n ∈ Mn (k). Avec les notations de 11, la matrice ((−1)i+j ∆ij )1!i,j!n de
Mn (k) des cofacteurs de A est appelée la comatrice de A et est notée Com(A).
F. Geoffriau
Déterminants
–5–
Théorème 16. – Comatrice et inverse
Soit A ∈ GLn (k). Alors
1 t
(Com A)
A−1 =
det(A)
"
Preuve – Admise.
Exercice 17. – Déterminer, si elles existent, les inverses des matrices (avec a, b, c, d ∈ k) :
A=
(
a
c

)
b
,
d
(
1

B = −1
2

1 −3
2
2 ,
−1
1

1

C = −1
2

1 3
2 2
−1 1
)
a b
Solution – a. Soit A =
∈ M2 (k). On a det(A) = ad − bc.
c d
Si ad − bc (
= 0, la matrice
A n’est pas inversible et si ad − bc #= 0, on a alors :
)
1
d
−b
A−1 =
.
a
ad − bc −c

1
1 −3
b. Pour B =  −1
2
2 , on a det(B) = 18 et
2 −1
1

4

Com B = 2
8

1

c. Pour C = −1
2
5
7
1

−3
3 ,
3

4
t

Com B =
5
−3

2 8
7 1 ,
3 3
B −1

4
1 
=
5
18
−3

1 3
2 2 , det(C) = 0, donc la matrice n’est pas inversible.
−1 1
2
7
3

8
1
3
"
Proposition 18. – Déterminant d’un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle, u ∈ L(E) et e, e# des bases de E.
Alors les matrice mat(u; e) et mat(u; e# ) ont même déterminant. Ce déterminant commun
est appelé le déterminant de l’endomorphisme u et est noté det(u).
!
Preuve – On pose P = Pee la matrice de passage de la base e à la base e# , A = mat(u; e)
et B = mat(u; e# ). Alors B = P −1 AP et
&
'−1
det(B) = det(P −1 AP ) = det(P −1 ) det(A) det(P ) = det(P )
det(A) det(P ) = det(A)
d’où la conclusion.
"
Remarque 19. – Deux matrices semblables ont même déterminant mais deux matrices équivalentes peuvent avoir des déterminants distincts et deux matrices ayant même
déterminant ne sont pas nécessairement semblables.
F. Geoffriau