la bande de magnetophone

LA BANDE DE MAGNETOPHONE
Enoncé
Calculer le nombre de tours nécessaires pour enrouler autour d’un moyeu de rayon r, une bande
d’épaisseur e et de longueur L.
Cas de : e << r << L
Solution
La longueur L de bande enroulée autour du moyeu de n tours plus une fraction de tour ε (0 ≤ ε ≤ 1)
est donnée par:
⎡
⎤
L = 2π ⎢ rN + (r + e) + (r + 2e) + ...... + (r + (n − 1)e) + ε (r + ne) ⎥
⎥
⎢1er tour 2ème tour
n ème tour
Fraction du (n+1)è tour ⎦
⎣
L
e(n − 1)n
= nr +
+ ε (r + ne)
Soit:
(1)
2π
2
e 2
e
L
+εr = 0
Ou:
(2)
n + ( r − + ε e) n −
2
2
2π
⎡ − r + e + r 2 + ( L π − r )e + e 2 4 ⎤
2
⎥
On a alors: n = E ⎢
⎢
⎥
e
⎣
⎦
ε est donné par (1). C'est aussi le seul réel entre 0 et 1 tel que (2) ait une solution entière n.
Dans le cas e r L , (2) s'écrit:
Soit:
e 2
L
=0
n + rn −
2
2π
⎤
r⎡
eL
n ⎢ 1 + 2 − 1⎥
πr
e⎣
⎦
Récréations mathématiques
JC Lermant – 19/12/06
P. 1/1