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sciences de l’information exercices
Cours Sciences de l’Information Printemps 2015
Série 9
Bixio Rimoldi
Délai de soumission : Mercredi 29 avril 2015, 23h59.
Les soumissions seront néanmoins acceptées jusqu’à 24h après le
délai, mais la note sera diminuée de 20%.
Seuls les documents PDF seront acceptés et corrigés (pas de fichiers PS,
DVI, DOCX, RTF, ...). Veillez à ce que vos fichiers puissent être lisibles
avec Adobe Reader avant de les soumettre sur moodle. Toute rendu ne
respectant pas ces consignes recevra la note 0.
Nous apportons votre attention sur le fait que les calculs peuvent
être faits avec l’aide d’une calculatrice uniquement. L’utilisation de
logiciels mathématiques est encouragée, mais seulement pour la
vérification des calculs. L’utilisation d’appareils électroniques ne
sera pas permise lors de l’examen.
(Les réponses non-justifiées ne recevront pas de points)
Problème 9.1. Lisa et Bart communiquent en utilisant la méthode
RSA. Bart choisit donc deux nombres premiers p et q, et calcule leur
produit K = 451. Il choisit un exposant e = 13. Il rend public le
couple (K, e).
1. Quelle est l’exposant de déchiffrement f de Bart?
2. Lisa veut transmettre le message P = 109 à Bart ; quel message C
ce dernier va-t-il recevoir ?
3. Si le message reçu par Bart est C = 43 , quel est le message
initial P0 que Lisa lui a envoyé ?
Problème 9.2. Une des utilisations des algorithmes de cryptographie asymétrique est la signature des messages. Le but de cet
exercice est d’étudier un protocole de signature simple basé sur
RSA.
Lisa veut pouvoir signer les messages qu’elle envoie. Pour
cela, elle choisit un couple de nombres premiers ( p, q), donc une
clé publique K = pq, et un exposant e qu’elle rend public. Lisa
calcule l’exposant de déchiffrement f (secret). Un message est
une suite de n symboles u = (u1 , . . . , un ), où chaque symbole
ui ∈ {0, 1, . . . , 9, A, . . . , Z, } est une lettre, un chiffre ou un espace. Pour signer un message, Lisa commence par encoder chaque
lettre ui en une valeur c(ui ) entre 0 et 36: c(0) = 0, c(1) = 1,. . .,
c( A) = 10,. . ., c( Z ) = 35, c( ) = 36. Puis elle transforme le message
u = (u1 , . . . , un ) en un élément [ P(u)]K de Z/KZ par la formule
P(u) = ∑in=1 c(ui )37i−1
Le message [ P(u)]K est ensuite chiffré avec l’exposant de déchiffrement f pour obtenir la signature du message:
[σ(u)]K = ([ P(u)]K ) f , σ(u) ∈ {0, ..., K − 1}
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Elle transmet ensuite le message
u1 , u2 . . . , u n , σ ( u )
1. Homer reçoit le message u et la signature σ (u). Il connaît la
clé publique et la méthode d’encodage. Peut-il vérifier que le
message a bien été signé selon ce protocole?
2. Lisa a choisit ( p, q) = (97, 173) et l’exposant public e = 17.
Calculer l’exposant de déchiffrement f .
3. Quelle est la signature de “CIAO”.
4. La signature 14812 correspond-elle au message “POINCARE”?
5. Lisa a envoyé un message signé “LISA DOIT BART CHF 100”
avec la signature S. Pouvez-vous trouver une signature pour
“LISA DOIT BART CHF 1000000” sans faire de calculs? Que
pensez vous de la méthode de signature de Lisa ?
6. Proposer un schéma de signature similaire qui évite ce problème.
Problème 9.3. Lisa utilise RSA avec les paramètres suivants.
— ( p, q) = (83, 59).
— L’exposant de chiffrement est e = 17.
1. Cette combinaison de paramètres est-elle valide? Si oui calculer
la clé pulique K et l’exposant de déchiffrement.
Un nombre premier sûr est un nombre premier p de la forme
p = 2p0 + 1 où p0 est aussi un nombre premier. Certaines propriétés des nombres sûrs en rapport avec le chiffrement RSA sont
mentionnées dans le livre du cours.
2. Les nombres p et q de Lisa sont ils sûrs?
3. Trouver tous les messages P de Z/KZ tels que Pe = P mod K
(où ( p, q) = (83, 59)).
4. On suppose que p = 17.
(a) p est-il sûr?
(b) Résoudre l’équation x e = x dans Z/17Z.
(c) Combien y a-t-il de messages P de Z/(17 × 59)Z tels que
Pe = P?
Il existe beaucoup de nombres premiers sûrs, on pense que leur nombre
est infini.
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