2013 Brevet Blanc-Maths-décembre

BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES -­‐ CORRIGE Indications : La maîtrise de la langue représente 4 points sur 40. L’usage de la calculatrice est autorisé. EXERCICE 1 : (4 points) 1. Avec la méthode de votre choix, calculer le PGCD de 546 et 224. Calculons le PGCD en appliquant la méthode des soustractions en remplaçant à chaque fois le plus grand nombre par la différence jusqu'à ce que la différence soit nulle : Nombre 1 Nombre 2 Différence 546
224
322
322
224
98
224
98
126
126
98
28
98
28
70
70
28
42
42
28
14
28
14
14
14
14
0
2. Rendre irréductible la fraction Donc PGCD(546.224)=14 . est l’écriture irréductible de la fraction . EXERCICE 2 : (5 points) Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1 045 dragées aux amandes dans des sachets. Chaque sachet ayant la même répartition de dragées. 1. Peut-­‐il faire 76 sachets ? Le nombre de sachets confectionnés N doit être un diviseur commun de 760 et de 1 045. Or 76 divise 760 car 760 = 76 × 10 mais 76 ne divise pas 1 045 car 1 045 76 = 13,75 qui n’est pas un nombre entier. On ne peut donc pas faire 76 sachets. 2. a. Quel nombre maximal de sachets peut-­‐il réaliser ? Le nombre de sachets confectionné N doit être un diviseur commun de 760 et de 1 045. Or on cherche le plus grand, donc N est le PGCD de 760 et de 1 045. Calculons le PGCD de 760 et de 1 045 par l’algorithme d’Euclide. Par divisions euclidiennes successives on obtient : 1 045 = 1 × 760 + 285 760 = 2 × 285 + 190 285 = 1 × 190 + 95 190 = 2 × 95 + 0 Le PGCD de 760 et de 1 045 est donc 95, c’est le dernier reste non nul. Le nombre maximal de sachets est donc de 95. b. Combien de dragées de chaque sorte y aura-­‐t-­‐il dans chaque sachet ? Il y aura donc 1 045 95 = 11 dragées aux amandes et 760 95 = 8 dragées au chocolat. EXERCICE 3 : (5 points) Pour les 4 questions suivantes, on considère les fonctions et 1 L’image de 2 par la fonction f est : 11 3 7 2 1 a pour image par la fonction f : 3 0 -­‐1 -­‐ 5 0 -­‐ 1 3 f(0) = 4 Un antécédent de 6 par la fonction g est : 2 -­‐ 1 1 5 2 est un antécédent par la fonction g de : 2 0 3 EXERCICE 4 : (5 points) 1. Soit f une fonction. Traduire chaque expression par une égalité de la forme f(a) = b et écrire la réponse sur la copie. a. f (5) = 2 b. f (-­‐5)= 2. c. f (4) = -­‐1 2. Cette courbe est la représentation graphique d'une fonction g. Lire sur le graphique et écrire la réponse sur la copie: a. L’image de 3 est 3,5 b. Un antécédent de -­‐2 est -­‐3 EXERCICE 5 : (4 points) 1. Calculer l’aire d’une sphère de rayon 2 cm. (arrondir au cm² près). A= 4 × π × 2 2
A = 16π
A ! 50cm 2
2. Calculer le volume d’une boule de diamètre 2 cm (arrondir au près). EXERCICE 6 : (6 points) Une figure codée est donnée ci-­‐dessous. Elle n’est pas dessinée en vraie grandeur. 1. Dessiner le triangle ABC en vraie grandeur. 2. Déterminer par le calcul la mesure de l’angle Le triangle ABC est rectangle en A. On a donc sin = = arcsin (
= arcsin ( ) = 30° ) . 3. Calculer la longueur AB par la méthode de votre choix. En utilisant le cosinus de l’angle , on a cos = AB = BC cos AB = 6 cos (30°) AB = 3 AB EXERCICE 7 : (7 points) Lili décide de poser du parquet dans son appartement de 32 m². Elle va coller son parquet. Elle va ensuite vernir le parquet collé et passer une couche de durcisseur afin de le protéger. Lili prend des renseignements sur les tarifs dans deux magasins : Magasin A (Prix au détail) : Magasin B (Prix promotion) : 2
Parquet (le m ) : 29 € Parquet : 20 € le m2 Colle (pour 20 m2) : 18,20 € le pot Forfait « Pose complète » : 16 € le m2. Vernis (le pot de 5L) : 12,70 € pour 8 m2 Durcisseur (pour 12 m2) : 38,40 € le pot 1. Quel magasin Lili va-­‐t-­‐elle choisir ? Si Lili choisit le magasin A : Puisque son appartement fait 32 m², il lui faut 2 pots de colle (2 x 20 m² = 40 m²), 4 pots de vernis (4 x8 m² = 32 m²) et 3 pots de durcisseur (3 x 12 m² = 36m²). Prix du parquet + Prix de la colle + Prix du vernis + Prix du durcisseur = 29×32 + 2×18,20 + 4×12,70 + 3×38,40 = 928 + 36,40 + 50,80 + 115,20 = 1130,40 En choisissant le magasin A, Lili va payer 1130,40 €. Si Lili choisit le magasin B : 32×(20 + 16) = 32×36 = 1152 En choisissant le magasin B, Lili va payer 1152 €. Lili Choisira donc le magasin A. 2. Quelle(s) remarque(s) peux-­‐tu faire ? Bien qu'il y ait une promotion au magasin B, Lili a intérêt à choisir le magasin A si elle veut payer le moins cher possible. Tu expliqueras ta démarche sur ta copie sous forme d’une narration de recherche. Toute piste, même non aboutie, figurera donc sur ta copie.