le pentagramme du triangle 3-4-5

LE PENTAGRAMME DU TRIANGLE 3-4-5
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L'article sur la géométrie avec les yeux devient trop lourd. Il est nécessaire de placer ses annexes et
développements à part, comme cette construction du pentagramme à partir du triangle 3-4-5. Ce texte s'inscrit à
la suite de la page 29 de l'article principal :
http://www.jacquier.org/IREM/Yvo_Jacquier-Geometrie_egyptienne.pdf
La figure des diagonales - focus sur le triangle
La figure des diagonales expose sur
un quadrillage la conversion des
angles des bissectrices du triangle 34-5 selon une logique ternaire. Ces
trois droites sont les diagonales d'un
simple, d'un double et d'un triple carré
(on parle d'ordre 1, 2 et 3) et quand
d'eux d'entre elles se croisent, elles
produisent l'angle de la troisième, leur
complémentaire. Les échelles qui
représentent les multiple-carrés font
référence au triangle sacré : les trois
droites rouges correspondent à la
conjonction de l'ordre de la
bissectrice et du "barreau".
Le triangle 3-4-5 produit trois diagonales particulières sur le quadrillage. En réciproque le jeu de
ces trois diagonales produit le triangle 3-4-5 et par trois fois - en trois couleurs sur le visuel. Le
centre du cercle inscrit est marqué d'un point également, car les bissectrices sont à leur place.
Ce jeu de construction est le coeur de la géométrie sacrée. Elle commence avec l'inventaire des
correspondances. Son discours symbolique repose ainsi sur cette véritable syntaxe géométrique.
Ses règles ne sont ni descriptives ni arbitraires, elles font appel à un ensemble de comportements
intelligibles et cohérents sur le plan mathématique.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée - Le pentagramme des Égyptiens
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La proportion dorée
Le nombre d'or est explicite dans la figure des
diagonales. L'échelle d'ordre 2 croise la
verticale du quadrillage, à un carreau du point
d'ancrage, à la hauteur φ.
Reportons ce principe sur le triangle sacré, dans
la position où nous avons l'habitude de l'étudier.
Comme sur la figure en bas de la page 29 de
l'article principal, un cerf-volant permet de
mieux situer le point en question. Il marque la
moitié du rectangle doré accroché au sommet.
L'amande que forme le cercle de rayon 1 autour
de ce point avec le cercle intime mesure φ, et
les deux centres sont distants de √(3- φ).
Le troisième cercle
Coiffons l'amande d'un troisième cercle de
rayon 1. Entre les deux premiers centres, il y a
par construction la diagonale d'un rectangle
doré de largeur φ - 1 = 1/φ, et de hauteur 1.
Le segment qui mesure l'amande (φ) est sur la
médiatrice des deux centres. En conséquence,
ce segment est la diagonale d'un rectangle doré
lui aussi. Sa grande mensuration fait √(1+2/√5)
et il s'en faut de 6‰ pour que ça fasse 3- φ. La
légère déclinaison du troisième centre en est la
cause. Pour autant, cette disposition bizarre ne
va pas le rester longtemps. Comme nous l'avons
remarqué dans l'article principal, la croix verte
du visuel fait apparaître π/5, soit 36°, l'angle du
pentagramme. Il nous faut maintenant trouver
son échelle, son orientation et son accroche.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée - Le pentagramme des Égyptiens
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LE PENTAGRAMME DU TRIANGLE SACRÉ
Ce pentagramme se cale sur l'amande, et φ est la
mesure de sa pointe. L'étoile reprend ensuite
cette mesure là où elle est à l'origine, comme
côté supérieur d'un rectangle d'or.
Ainsi le pentagramme semble incliné de façon
non conventionnelle, mais tout bien considéré,
son orientation a du sens : la droite que l'on
considère comme sa verticale quand il est en
position debout s'accorde avec la diagonale d'un
rectangle d'or. Le rectangle référent reprend
alors la première mesure de φ, celle qui mène au
centre du second cercle, et développe un
rectangle vers le bas de hauteur φ2 = φ+ 1. Le
visuel rassemble les points remarquables de
cette construction. Les modules de Penrose la
rendent plus didactique.
Maintenant la question qui se pose est de taille : qu'en savaient les Égyptiens ?
Sans rien “nommer par les nombres”, cette construction est entièrement réalisable à la règle et au compas sur un
quadrillage. C'est même une façon de trouver le pentagramme, de l'inventer. Le chemin qui nous a mené jusque
là est parfaitement logique. Il résulte d'une série de propriétés des angles associés au triangle 3-4-5.
À noter : le point du haut n'est pas exact par rapport au quadrillage, il s'en faut de 4,5 ‰ de carreau. En
revanche le point vert du bas est exact, et il est également sur une ligne du pentagramme inverse.
La figure ci à gauche est à l'étude : elle montre la pertinence des
trois cercles dans la constitution du pentagramme. Les droites
vertes sont les axes des deux vesica piscis. Les trois cercles
réunissent ainsi selon leurs intersections les valeurs du nombre
d'or, qui décide de la taille de la branche, et la racine du trois, qui
pointe sur l'origine et sur l'extrémité de cette branche.
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VERSION DIDACTIQUE, SYMBOLIQUE ET HISTORIQUE
Bis repetita pacent. Particulièrement quant il s'agit d'un sujet aussi nouveau, et quand la surprise le dispute aux
conséquences pour notre vision de l'histoire et de l'art. Les Anciens, Égyptiens de surcroît, n'ont pas construit sur
du sable; leur savoir s'est bâti avec une logique et une méthode irréprochables.
Le quadrillage paléolithique est à la base de la pratique égyptienne. Il voit
se développer une première notion : celle de l'angle. Ce concept devient
littéralement une façon de penser (le mythe d'Horus en est l'expression), à
tel point même que le concept de surface sera en quelque sorte reporté
dans le temps en dépit des tentations. Par exemple, la figure ci à gauche
porte une preuve facile de la √10, selon un découpage élémentaire de
surfaces (pour la √5, voir aussi http://www.jacquier.org/IREM/4-2.jpg).
Cependant pour les Égyptiens, ce schéma montre que l'angle compris
entre la diagonale d'un triple carré couché et celle d'un double carré
debout est celui de la diagonale d'un simple carré... Et si les Égyptiens
avaient pensé autrement, ils auraient énoncé le théorème de Pythagore...
Comment identifier les angles sur un quadrillage ? On est en droit de supposer qu'au paléolithique profond, le
géomètre compte les carreaux comme il compte avec ses doigts... Mais pas à l'époque des pyramides. L'art et
l'architecture sont trop évolués, et les formes de composition qui seront celles des cathédrales, de l'art Byzantin
et de la Renaissance apparaissent en termes clairs. L'identification répétée de ces formes dans l'art est, il faut le
souligner, le point de départ de cette étude. Devenue nécessaire, la reconstitution d'un corpus a précisé au fil du
temps que la géométrie égyptienne se pratiquait littéralement « avec les yeux »... Et maintenant la notion d'angle
se révèle comme base de sa pensée. Ce caractère est inhérent au quadrillage : il n'est pas trente six façons de
développer un savoir à partir de cette grille. Bien sûr, l'on peut faire intervenir des éléments extérieurs, des
savoirs parallèles, et faire du quadrillage un repère cartésien, c'est à dire le support de mathématiques qui
s'algébrisent. Il s'en faut de quelques millénaires pour que ce scénario soit simplement recevable.
À son éveil, l'Égypte a fondé une science qui lui est propre en héritant de très peu de matériel : essentiellement la
logique du quadrillage. Pour la faire progresser, les méthodes se présentent comme autant de passages obligés.
La confrontation des diagonales du simple, du double et du triple carré est une sorte de premier pas pour
échapper aux lignes obligées, à angle droit, de la grille initiale. La première réflexion des Égyptiens ou de ceux
qui les ont précédés dans cet exercice, s'est portée en toute logique sur ce qui reliait les angles des multiples
carreaux. Ces relations, une à une, sont assez simples à comprendre, et donc très tôt un principe a émergé : quand
deux des diagonales (d'ordre 1, 2 et 3) se confrontent (selon une orientation à angle droit), elles forment l'angle
de la troisième. À la page 27 de l'article principal, la figure des diagonales rassemble toutes les confrontations en
un lexique. Nous développons en cet article cette figure de passage (entre les multiples carrés) selon deux autres
aspects : le triangle 3-4-5 et la proportion dorée, qui complètent explicitement cet échange.
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La proportion dorée
Aucun barreau n'est sans objet dans la figure dite
des diagonales. La proportion dorée se profile
ainsi une deuxième fois, au troisième barreau de
l'échelle d'ordre 2, et cette fois, il s'agit de :
2.φ = √5 + 1.
Le nombre d'or se montre ainsi très lié à l'ordre 2.
La diagonale du double-carré, expression basique
de l'ordre 2, mesure √5; et φ est montré comme
ici, par la bissectrice d'ordre 2 du triangle 3-4-5.
L'ADN du pentagramme
Pour définir un pentagramme, le matériel
minimal se résume à un angle entre deux
branches, quelles qu'elles soient, et à la mesure
d'un segment, quel qu'il soit. C'est ce que nous
offre la figure ci-contre.
Il suffit de reporter le point d'or de la figure des
diagonales, comme indiqué en page 2, et de
développer un rectangle doré vers le bas; enfin de
tracer un cercle de rayon 1 autour du premier
point. La figure du rectangle et du cercle exprime
elle-même au plus simple la proportion dorée : le
cercle de rayon 1 souligne de deux marques deux
divisions successives du grand rectangle.
Cette confrontation de deux définitions minimales expose en outre la liaison du pentagramme avec le nombre
d'or. Avant tout ce schéma imbrique dans un processus de construction les structures du rectangle doré (ici en
jaune) et du pentagramme. Ce fait est particulièrement rare. Comme à propos du nombre lui-même, nous
sommes habitués à envisager cette relation en termes arithmétiques alors que les définitions originales sont
strictement géométriques, avec les yeux. Enfin, cette figure se réfère au triangle 3-4-5 à travers son rectangle
doré de référence accroché à son sommet . Nous allons le voir...
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La construction au compas
Reprenons les explications de la page 2 du
présent article. Le cercle de rayon 1 centré à
l'angle du rectangle doré crée une amande qui
mesure φ, et son centre est distant de celui du
cercle intime au triangle de √(3- φ) : les parfaites
conditions pour installer un pentagramme. Et il
s'incline selon la diagonale du rectangle doré.
Dans l'exercice “physique” du compas, il ne s'agit
plus de limiter les reports de compas à leur
minimum, au contraire : plus une ligne trouve de
points de repères, plus sa précision s'affirme.
Dans cet esprit, la construction du pentagramme inverse et des
lignes complémentaires apportent leur contribution. La
précision sur le terrain de la géométrie égyptienne suppose de
nombreuses stratégies, dont celle-ci. Chaque point concret
devient l'objet d'une multiple triangulation.
Au final, ce pentagramme à l'allure farfelue se lie avec
intelligence à la structure du triangle, elle-même issue de la
figure des diagonales. Pour exemple le point du pentagramme,
situé sur la barre du rectangle doré “de référence”. Sa barre
inférieure vise la pointe du pentagramme (cerf-volant de 1 et φ).
Remarques
1 - De très nombreuses coïncidences de figure
réclament la trigonométrie : leur précision est de
quelques millièmes (marge). En revanche, celles
qui sont accessibles à la logique des yeux sont
carrément exactes. Étonnant, non ?
2 - Sans connaître la structure du triangle ni la
figure des diagonales, cette géométrie avec les
yeux reste muette. Une vocation !
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LES RAPPORTS DU TRIANGLE AVEC LE NOMBRE D'OR
Le rectangle doré en position “classique”
Le triangle 3-4-5 porte la proportion dorée comme
élément essentiel de sa structure, et pas seulement à
titre de “citation”.
La première étape de cette monstration consiste à
distinguer un triangle de Pinwheel collé contre
l'hypoténuse du triangle. On voit ainsi de 1-2-‘√5’.
Soit AS la tangente au cercle en S, et soit AT la
médiatrice de AS en T, tangente au cercle en L.
Par construction, LOST est un carré de côté 1.
Ensuite, les angles droits en T et en U signifient
que le quadrilatère ΩTVU est un cerf-volant. Les
quatre côtés sont tangents au même cercle.
Ce point peut être le sujet d'un lemme.
—> Selon quoi ΩU = ΩT
La Bissectrice de l'angle WAT définit deux
triangles qui ont chacun deux angles égaux, le
deuxième étant droit. Tandis que WA = AT = 1.
Les triangles sont donc semblables et ils forment un nouveau cerf-volant ΩWAT.
—> Donc
ΩW = ΩT = ΩU = φ
Ce cerf-volant exprime parfaitement les rapports du triangle sacré avec le nombre d'or :
φ est le rapport de son grand côté sur son petit côté. Il s'en suit naturellement une autre
figure, divisant le motif à la façon des fractales.
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La spirale dorée du triangle
Les cerf-volants, fruits de divisions successives
par le nombre d'or, se combinent jusqu'à former
une spirale dorée qui converge au point T, c'est à
dire au croisement des diagonales du rectangle
doré et de son résidu.
À cette occasion, l'on établit que le point L, situé
dans le prolongement de ΩT, est exactement à 1
carreau de l'angle droit du triangle. Ce
prolongement d'une unité du côté 4 du triangle
en crée un autre du même type, 3-4-5, avec son
angle droit en T.
N.B. : Le point L est sur le tracé du pentagone :
http://www.art-renaissance.net/mathematiques/Or-cercles-04.jpg
Les propriétés dorées du triangle sacré sont ‘incommensurables’ ! Pour ajouter à cette étonnement, les
monstrations ne réclament pas de nommer toutes les distances selon l'arithmétique (au-delà des entiers et de
quelques valeurs rationnelles). Rappelons que les coïncidences qui réclament le calcul moderne (trigonométrie)
ne sont pas exactes mais simplement précises à quelques millièmes de carreau.
Dans le prolongement de cette remarque, voici
l'un des constats que portent les monstrations
précédentes. Cette figure met en évidence les
deux triangles 3-4-5 croisés que nous avons vu.
Or il est cette fois intéressant de confronter les
réalités arithmétiques.
Les triangles BYL et TAY sont semblables.
Ensuite, la figure précédente nous montre que T
est à la fois l'angle droit des triangles de type 34-5 TAY et TLC, mais aussi le point de
croisement des diagonales du rectangle doré et
de son résidu. Cette deuxième propriété mérite
d'être énoncée comme lemme à part entière.
Si l'on s'en tient à sa construction classique, le point T a un statut irrationnel. Cette figure nous explique que par
la magie des angles, sa position sur le quadrillage devient rationnelle. Ses coordonnées sont 4/5 horizontalement
et 12/5 = 3 x 4/5 en verticale. Maintenant, le milieu du cercle du pentagramme semble à H = 8/5... :-)
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