Corrigé

Spé ψ 2013-2014
Devoir n°6
ONDES
CENTRALE PSI 2013
Partie I
I-1-a) corde sans raideur : la raideur d’une corde traduit sa capacité à se déformer en
compression ou en flexion, elle est donc associée au module d’Young E. Pour une corde « sans raideur », la seule force à prendre en compte est celle de tension.
hypothèse des petits mouvements : les déplacements transversaux de la corde par rapport
à sa position d’équilibre sont suffisamment petits pour que toutes les variables d’état et leurs dérivées sont des termes du premier ordre.
b) On considère l’élément de corde de longueur dx dont les extrémités sont aux abs
∂ v ( x, t ) ∂v ( x, t ) cisses x et x + dx. Sa masse est δm = µdx et son accélération a ( x, t ) =
=
ey .
∂t
∂t
Il est soumis, de la part du reste de la corde,
aux tensions T D ( N , t ) et T G ( M , t ) , avec élément de corde
T
D ( N ,t)
étudié
T G (M , t) = − T D (M , t) .
N
θ(x + dx, t)
Comme il n’y a pas de mouvement longitudiM
nal, la relation fondamentale de la dynamique, appliTG ( M , t )
quée dans le référentiel lié au sol qui est galiléen, se ey
projette en :
0 = Tx ( x + dx, t ) − Tx ( x, t )

.

∂v ( x, t )
µ
=
+
−
dx
T
(
x
dx
,
t
)
T
(
x
,
t
)

y
y
∂t

ex
θ(x, t)
x
x + dx
On peut faire les développements au premier ordre Tx ( x + dx, t ) = Tx ( x, t ) +
et Ty ( x + dx, t ) = Ty ( x, t ) +
∂Ty ( x, t )
∂x
∂Tx ( x, t )
dx + ...
∂x

∂Tx ( x, t )
0 =
∂x
dx + ... On obtient 
µ ∂v ( x, t ) = ∂Ty ( x, t )

∂t
∂x
La première équation conduit à Tx ( x, t ) = C . On peut écrire Tx ( x, t ) = T ( x, t ) cos ( θ ( x, t ) ) .
Le développement au premier ordre cos ( θ ( x, t ) ) = 1... d’où T ( x, t ) = C . On peut noter T0 le module constant de la tension.
Par ailleurs, Ty ( x, t ) = T0 sin ( θ ( x, t ) ) = T0 θ ( x, t ) ... au premier ordre.
Comme θ ( x, t ) ≈ tan ( θ ( x, t ) ) =
∂y ( x, t )
, il vient Ty ( x, t ) = T0
∂y ( x, t )
∂x
∂x
2
2
∂Ty ( x, t )
∂ y ( x, t )
∂ y ( x, t )
∂v ( x, t )
rapport à t, on obtient
= T0
= T0
= T0
.
∂t
∂t ∂x
∂x ∂t
∂x
. En dérivant par
 ∂v ( x, t ) ∂Ty ( x, t )
=
µ
∂t
∂x
Avec l’équation obtenue précédemment, on peut écrire le système : 
.
∂
T
x
,
t
∂
v
x
,
t
(
)
(
)
y
T
 0 ∂x =
∂t
Spé ψ 2013-2014
page 1/8
Devoir n°6
c) On dérive la première équation par rapport à t et la deuxième par rapport à x pour
 ∂ v ( x, t ) ∂Ty 2 ( x, t )
=
µ
∂ 2 v ( x, t )
∂ 2 v ( x, t )
∂t 2
∂t ∂x
T
=
obtenir 
. Les dérivées croisées sont égales donc µ
.
0
2
2
2
2
∂
t
∂
x
∂
T
x
,
t
)
 ∂ v ( x, t )
y (
T0 ∂x 2 = ∂x ∂t

2
d) On peut écrire l’équation précédente µ
∂ 2  ∂y ( x, t ) 
∂ 2  ∂y ( x, t ) 
=
T

 0 2
 ou en∂t 2  ∂t 
∂x  ∂t 
2
2
∂  ∂ y ( x, t ) 
∂  ∂ y ( x, t ) 
T
=

 0 
 . On intègre par
∂t  ∂t 2 
∂t  ∂x 2 
∂ 2 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t )
= T0
+ g ( x) . La fonction g(x) ne dépend que de x et
rapport à t et l’on obtient µ
∂t 2
∂x 2
ne peut donc pas décrire un phénomène d’onde progressive ou stationnaire. On prend g(x) = 0 et il
∂ 2 y ( x, t ) µ ∂ 2 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 y ( x , t )
−
= 0 . Cette équation est de la forme
reste
− 2
= 0 en
∂x 2
T0
∂t 2
∂x 2
c
∂t 2
core, d’après le théorème de Cauchy-Schwartz, µ
posant c =
T0
.
µ
Les ondes de surpression (et de vitesse) dans un gaz et les ondes électromagnétiques dans
le vide sont deux autres exemples de phénomènes régis par cette équation de d’Alembert.
d) La tension exprimée en kg correspond au poids mg soit T0 = 850 N.
La masse de la corde est m = ρsL donc la masse linéique est µ = ρs = ρ π
1,1×10 −3 )
(
4T0
3
c=
. A.N. µ = 7,8 × 10 π
ρπd 2
4
d2
puis
4
2
= 7,4×10–3 kg⋅m–1 et c =
4 850
7,8 × 103 π (1,1×10−3 )
2
= 3,4×102 m⋅s–1.
I-2) a) Une onde est stationnaire si les variables d’espace et de temps ne sont pas couplées
dans la même phase. On peut donc la chercher sous la forme y(x, t) = f(x)⋅g(t).
En reportant dans l’équation de d’Alembert, on obtient
d 2 g (t )
d 2 f ( x)
1
f
x
=
g
t
soit
(
)
(
)
c2
dt 2
dx 2
2
2
1 1 d g (t )
1 d f ( x)
=
en divisant par f(x)⋅g(t) qui n’est pas nul. On a l’égalité entre deux
c 2 g ( t ) dt 2
f ( x ) dx 2
fonctions de variables différentes. Ces fonctions sont constantes. On a donc
2
2
1 1 d g (t )
1 d f ( x)
=
=C.
c 2 g ( t ) dt 2
f ( x ) dx 2
Si C = 0, les solutions sont affines, si C > 0, les solutions sont divergentes. Aucune de ces
solutions ne vérifient les conditions aux limites. Il reste C < 0.
On peut poser
2
1 d f ( x)
= − k2
2
f ( x ) dx
d’où
d 2 f ( x)
+ k 2 f ( x) = 0
2
dx
qui s’intègre en
d 2 g (t )
+ k 2c2 g (t ) = 0
2
dt
qui s’intègre en
f ( x ) = f 0 cos ( kx + ψ ) .
On a aussi
2
1 1 d g (t )
= − k2
2
2
c g ( t ) dt
d’où
g ( t ) = g0 cos ( kct + ϕ ) .
Spé ψ 2013-2014
page 2/8
Devoir n°6
On peut donc écrire finalement y ( x, t ) = y0 cos ( ωt + ϕ ) cos ( kx + ψ ) avec la relation
ω = kc .
b) Un mode propre est une solution stationnaire vérifiant des conditions aux limites
particulières, comme celles indiquées. Ces solutions étant sinusoïdales dans le temps, une fréquence (de mode) propre est la fréquence d’une telle solution particulière.
Pour la forme de la solution écrite précédemment, les conditions aux limites
y(0, t) = y(L, t) = 0 imposent cos ( ψ ) = 0 et cos ( kL + ψ ) = 0 car y0 cos ( ωt + ϕ ) n’est pas toujours
nul..
cos ( ψ ) = 0
est
obtenu
en
choisissant
ψ = –π/2
[π],
puis
cos ( kL + ψ ) = cos ( kL − π / 2 ) = sin ( kL ) = 0 est obtenu pour des valeurs kn telles que kn L = nπ . La
relation de dispersion conduit à k = ω/c = 2πf/c.
On en déduit f n =
c
nπc
ou encore f n = n
.
2L
2πL
 nπx 
Le mode propre de rang n a alors pour expression yn ( x, t ) = y0,n cos ( 2π f n t + ϕ ) sin 
.
 L 
On peut aussi écrire kn =
λ
2π
nπ 2π
ou encore
=
soit L = n n . On en déduit les courbes
λn
L λn
2
suivantes :
y1(x, t)
y2(x, t)
t=0
t = T1/6
y3(x, t)
t=0
t=0
t = T2/6
x
t = T1/4
t = T3/6
x
t = T2/4
L
x
t = T3/4
L
t = 5T1/6
t = 5T2/6
t = T1/2
t = T2/2
L
t = 5T3/6
t = T3/2
  πa

 πx 
sin  n 0 
sin  n



4u a x0
 L 
 L  sin  n π x  sin  n πct   .

y ( x, t ) = 0
∑

 

π x0
cL n =1  n π a
 L   L 
n


L
L


c) La largeur a du marteau intervient dans l’amplitude des composantes par le facteur
 πa πa
.
sin  n
/n
L
 L 
∞
L’allure de la fonction sin(X)/X montre qu’elle n’est significative que pour X ∈ [–π, π].
L
πa
L’amplitude d’une composante n’est importante que si n
≤ π soit n ≤ .
a
L
La valeur de a détermine donc le rang maximal des composantes présentes dont l’amplitude
n’est pas négligeable soit nMAX = L / a .
On constate que plus a est petit, plus le spectre est riche en harmoniques. Par contre, plus a
4u0 a x0
est grand, plus l’amplitude de la composante est grande (par le facteur
). La valeur de a
cL
choisie résultera donc d’un compromis.
Spé ψ 2013-2014
page 3/8
Devoir n°6
A.N. nMAX = L/a = 65/1 = 65. La fréquence au-delà de laquelle l’amplitude est négligeable
est donc f65 = 65×262 = 17 kHz. Dans ce cas, tout le spectre émis couvre presque tout le domaine
audible (f < 20 kHz) donc il est inutile de le diminuer plus.
Remarque : Pour la fréquence f1, la longueur d’onde est λ1 = c/f1 soit numériquement
λ1 = 3,4×102/262 =1,29 m. Alors λ69 = λ1/69 = 1,9×10–2 m : la longueur d’onde de la composante de
fréquence maximale est de l’ordre de la valeur de a, c’est-à-dire de la largeur du marteau. Le marteau n’excite que les modes de longueur d’onde supérieure à sa largeur.
 πx  πx
d) Pour supprimer l’harmonique de rang n, il faut sin  n 0  / n 0 = 0 soit
L
 L 
n
π x0
= pπ . Pour ne pas supprimer les harmoniques de rang inférieur à n, il faut choisir p = 1 d’où
L
x0 = L / n .
I-3-a) D’après la relation établie en I-2-b f n = n
correspond à n = 1, est telle que L =
c
, la fréquence du fondamental, qui
2L
c
.
2f
Si l’on suppose que la célérité c est la même sur toute les cordes, on peut exprimer la lonf
gueur L correspondant à une fréquence f à l’aide des valeurs indiquées L = L262 262 .
f
AN. Pour f = 28 Hz, on trouve L = 65
262
262
= 608 cm et pour f = 4,2 kHz, L = 65
= 4,0 cm.
28
4, 2 × 103
b) Avec l’expression de la célérité, on peut écrire f =
1 T0
.
2L µ
Pour diminuer la fréquence du fondamental sans changer L et T0, on peut augmenter la
masse linéique µ : c’est le rôle du filetage de cuivre (les spires de cuivre ne sont pas jointives, ce
qui ne modifie pas la raideur de la corde).
On pourrait aussi diminuer la tension des cordes, comme on le fait sur une guitare ou un
violon (les tensions sont différentes pour chaque corde) mais cela peut entraîner une répartition non
symétrique des forces sur le cadre et donc un risque de fragiliser la structure du piano.
c) Pour une longueur L, la masse de cuivre est mCu = ρ(Cu)L π[(e +d/2)2 – (d/2)2]
= ρ(Cu)L π(e +d) e et la masse d’acier mACIER = ρ(Acier)L π(d/2)2 donc la masse linéique s’écrit
µ = π[ρ(Cu) (e +d) e + ρ(Acier)(d/2)2].
On en déduit L =
L=
1
2f
T0
soit numériquement
µ
1
850
= 1,7 m.
2 28 π ( 9 × 103 )(1, 6 × 10−3 + 10−3 )(10−3 ) + ( 7,8 × 103 )(1, 6 × 10−3 / 2 )2 


Partie II
II-1-a) D’après son unité, on sait que dim(E) = dim(F)/S.
On a donc dim ( Γ ) = L4
dim ( F ) L
soit
L2
L2
dim ( Γ ) = dim ( F ) L qui est bien la dimension
d’un moment de force.
b) Le théorème de la résultante cinétique est équivalent à la relation fondamentale
appliquée au centre d’inertie de la portion de corde considérée. Il n’y a rien à modifier aux équaSpé ψ 2013-2014
page 4/8
Devoir n°6
∂ 2 y ( x, t ) ∂Ty ( x, t )
=
tions démontrées à la question I-1-b. On obtient donc les relations µ
et
∂t 2
∂x
Tx = 0 .
c) Le moment de la tension appliquée au point M et calculé en G (barycentre du morceau de corde) s’écrit :
dy 
 dx dx
dy M ( x, t ) = GM ∧ T G ( x, t ) =  − e x − e y  ∧ −T0 e x − Ty ( x, t ) e y =  Ty ( x, t ) − T0  e z .
2 
2
2 
 2

De
même,
le
moment
de
la
tension
appliquée
en
N
est
dy 
dy 
 dx
 dx
M ( x + dx, t ) =  e x + e y  ∧ T0 e x + Ty ( x + dx, t ) e y =  Ty ( x + dx, t ) − T0  e z .
2 
2 
 2
 2
La distance maximale des points du segment au barycentre G est dx/2 donc le moment
(
(
)
)
2
d’inertie du segment par rapport à l’axe Gz est de l’ordre de dJ ≈ dm ( dx / 2 ) ≈ µdx3 qui est un
terme du troisième ordre en dx donc négligeable devant les termes du premier ordre.
Le théorème du moment cinétique s’écrit, dans le référentiel lié au sol qui est galiléen,
∂σ ( x, t )
∂σ ( x, t )
= ∑ Γ soit, en projection sur e z et en négligeant
,
s’écrit
∂t
∂t
i
dx
dy  
dx
dy 

0 =  Ty ( x, t ) − T0  +  Ty ( x + dx, t ) − T0  + Γ ( x + dx, t ) − Γ ( x, t )
2
2  
2
2 

= Ty ( x, t )

∂Ty ( x, t )
 dx 
∂Γ ( x, t )

dx
− T0 dy +  Ty ( x, t ) +
dx + ...  +  Γ ( x, t ) +
dx + ...  − Γ ( x, t )
2
∂x
∂x


 2 
= Ty ( x, t ) dx − T0
∂y ( x, t )
∂Γ ( x, t )
dx +
dx au premier ordre en dx.
∂x
∂x
il reste finalement T0
d)
Ty ( x, t ) = T0
∂y ( x, t )
∂Γ ( x, t )
= Ty ( x , t ) +
.
∂x
∂x
Avec
Γ ( x, t ) =
πr 4 ∂ 2 y
E 2 ,
4
∂x
l’équation
précédente
s’écrit
∂y ( x, t ) πr 4 ∂ 3 y
−
E 3 . On reporte dans le théorème de la résultante et l’on obtient
∂x
4
∂x
∂ 2 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t ) πr 4 ∂ 4 y
µ
= T0
−
E 4
∂t 2
∂x 2
4
∂x
II-2-a) On utilise la forme proposée y ( x, t ) = y0 cos ( kx + ψ ) cos ( ωt ) dans l’équation précédente et l’on obtient :
µ ( −ω2 ) y0 cos ( kx + ψ ) cos ( ωt ) = T0 ( − k 2 ) y0 cos ( kx + ψ ) cos ( ωt ) −
soit, après simplification ω2 =
toujours c =
πr 4
E ( k 4 ) y0 cos ( kx + ψ ) cos ( ωt )
4
T0 2
πr 4
k + k4
E . En notant
µ
4µ
T0
, on obtient la relation de dispersion
µ
fn
 πr 4

ω2 = c 2 k 2 1 +
E k2  .
 4T0

b) Les conditions aux limites sont les mêmes qu’à la question I-2-b. Elles conduisent à la condition
Spé ψ 2013-2014
page 5/8
Devoir n°6
n
de quantification kn L = nπ puis aux fréquences fn telles que ( 2πf n )
En prenant la racine positive, il vient f n = n
posant B =
 nπ 
=c  
 L 
2
2
2
 πr 4  nπ  2 
E   .
1 +

 4T0  L  
3 4
c
2 π r E
qui est bien de la forme demandée en
1+ n
2L
4T0 L2
π3 r 4 E
.
4T0 L2
Dans un piano à queue, les cordes sont plus longues et plus tendues que dans un piano droit
donc le coefficient correctif B sera plus petit. L’écart des fréquences des harmoniques dû à la raideur par rapport aux fréquences du cas sans raideur (qui sont dans un rapport simple) est plus faible
pour un piano à queue que pour un piano droit. Les harmoniques sont donc plus justes.
c) Sur le diagramme ci-contre, le cas sans raideur est tracé en rouge et le cas avec
raideur en bleu.
Les fréquences de mode propre la corde avec raideur sont plus élevées que les fréquences de
mode propre de la corde sans raideur, d’autant plus que le rang du mode est élevé.
Remarque : puisque les fréquences ne sont plus dans un rapport simple, les composantes
sont appelées partiels plutôt que harmoniques du fondamental.
4
d) A.N. B =
π3 ( 0,55 × 10 −3 ) 190 × 109
4 850 0, 65
2
= 3,75×10–4. (B est sans dimension).
Comme B << 1, on peut faire le développement limité au premier ordre en B suivant :
c
 1

pour la corde sans raideur. On en déduit
f n = f n ° 1 + Bn 2 + ...  car f n ° = n
2L
 2

in =
e) On cherche le rang n
fn − fn ° 1 2
= Bn .
fn °
2
tel que fn/fn° > 21/12 soit 1 +
1 2
Bn > 21/12. On obtient
2
nLIM = 2 ( 21/12 − 1) / B . A.N. nLIM = 2 ( 21/12 − 1) / 3, 75 × 10−4 = 18.
Partie III
III-1-a) Une onde de vitesse progressive vers les x croissants et sinusoïdale peut s’écrire
∂v ( x, t ) ∂Ty ( x, t )
v ( x, t ) = v0 cos ( ωt − kx ) . D’après I-1-b, elle vérifie l’équation µ
=
soit
∂t
∂x
µ ( −ω) v0 sin ( ωt − kx ) =
∂Ty ( x, t )
∂x
.
ω
µv0 cos ( ωt − kx ) + f ( t ) = − µc v ( x, t ) + f ( t ) . La fonction
k
f(t) ne dépend que de t et ne peut donc pas décrire un phénomène progressif. On pose donc f(t) = 0
Ty ( x, t )
= − µc . Ce rapport ne dépend pas de x et t, on
d’où Ty ( x, t ) = −µc v ( x, t ) . On en déduit
v ( x, t )
On peut intégrer en Ty ( x, t ) = −
peut donc poser ZC = µc.
M L
donc dim ( Z C ) = M T −1 .
L T
b) Une onde sinusoïdale progressive
v ( x, t ) = v0 cos ( ωt + kx ) .
On a dim ( Z C ) =
Spé ψ 2013-2014
page 6/8
vers
les
x
décroissants
s’écrit
Devoir n°6
Il va donc apparaître un signe – dans l’intégration de
Ty ( x, t )
v ( x, t )
∂Ty ( x, t )
∂x
et le résultat final sera
= µc .
2-a) La condition à la limite x = L doit traduire l’interaction entre la corde et l’ensemble mécanique chevalet/table d’harmonie. La puissance instantanée traversant la dernier section de la
corde, de la corde vers le chevalet, est
P ( L, t ) = T G ( L, t ) ⋅ v ( L, t ) = − Ty ( L, t ) v ( L, t ) = − Ty ( L, t ) v ( L, t ) .
Si l’on suppose Ty ( L, t ) = α v ( L, t ) , alors P ( L, t ) = − α v 2 ( L, t ) . Le transfert de puissance
s’effectuant de la corde vers la table d’harmonie pour amplifier le son produit, cette puissance est
positive et l’on peut poser α = –R avec R > 0.
b) La solution y ( x, t ) = f ( x ) exp ( st ) introduite dans l’équation de d’Alembert
d 2 f ( x)
1
exp ( st ) − 2 f ( x ) s 2 exp ( st ) = 0 d’où, après simplification par exp(st) qui n’est
2
dx
c
2
s
s
2
x
− x
d f ( x) s
c
c
− 2 f ( x ) = 0 . La solution générale est de la forme f ( x ) = ae + be . La
pas nul,
dx 2
c
condition à la limite x = 0 conduit à y ( x, t ) = ( a + b ) e st = 0 d’où a + b = 0. On a donc
conduit à
s
− x
 sx
s 
f ( x ) = a  e c − e c  d’où f ( x ) = A sinh  x  pour rester conforme à l’écriture de l’énoncé mais
c 


le sinh() d’une variable complexe n’est pas défini....
s 
s 
On a alors y ( x, t ) = A sinh  x  e st d’où v ( x, t ) = As sinh  x  e st .
c 
c 
La relation Ty ( x, t ) = T0
∂y ( x, t )
∂x
établie en I-1-b conduit à Ty ( x, t ) = T0
s
s 
A cosh  x  e st
c
c 
T0
s
s 
s 
A cosh  x  e st
cosh  x 
c
c
c 
 c  . Comme on a pose Z = µc = µ T0 = µT
donc
=
=
C
0
v ( x, t )
µ
 s  st
s 
As sinh  x  e
sinh  x 
c 
c 
Ty ( x, t )
µ
T
s 
= T0
= 0 on peut écrire
= Z C coth  x  . La condition limite en x = L conduit alors à
T0
c
v ( x, t )
c 
Ty ( x, t )
T0
Z
s 
s 
Z C coth  L  = − R d’où tanh  L  = − C .
R
c 
c 
Remarque : la forme équivalente indiquée par l’énoncé vient de la relation
e2 x − 1
tanh ( x ) = 2 x
e +1
r −1
 2 Ls 
 2 Lα 
 2 Lω 
c) On pose s = α + jω donc exp 
est
 = exp 
 exp  j
 . Comme
r +1
 c 
 c 
 c 
un réel positif puisque r est un réel supérieur à 1.
 2 Lω 
 2 Lα  r − 1
On en déduit les deux équations exp  j
.
 = 1 et exp 
=
 c 
 c  r +1
La première équation impose la condition
Spé ψ 2013-2014
πc
c
2 Lωn
ou encore f n = n
.
= 2nπ soit ωn = n
L
2L
c
page 7/8
Devoir n°6
Les pulsations de modes propres en présence du chevalet sont les mêmes que lorsque la
corde est fixée en x = L.
La deuxième équation conduit à α =
c  r −1 
 r −1 
ln 
 soit α = f1 ln  r + 1  .
2L  r + 1 


L’argument du logarithme étant inférieur à 1, on a α < 0.
α+ j ω
−
x
 α+ jω x
y ( x, t ) = a  e c − e c  e( α+ jω)t


 x
α
ω
α
 α x jω t + x 
− x − j x
− x j ω t −  
 α x jωx
= aeαt  e c e c − e c e c  e jωt = aeαt  e c e  c  − e c e  c   qui est bien de la forme indiquée






en posant F ( u ) = ae jωu où u = t + x/c ou u = t – x/c.
d)
α
L’expression
de
y(x, t)
devient
 x
j ω t + 
x
e c e  c  est la représentation complexe d’une onde progressive vers les x décroissants
dont l’amplitude augmente dans le sens de propagation (car α < 0).
−
α
x
x

jω t − 
e c e  c  est la représentation complexe d’une onde progressive vers les x croissants dont
l’amplitude augmente dans le sens de propagation (car α < 0).
Le coefficient exp ( αt ) avec α < 0 entraîne que le déplacement décroît au cours du temps en
tout point.
La superposition de ces deux ondes progressives en sens inverse ne donne pas une onde totalement stationnaire car leurs amplitudes ne sont pas égales.
1
1
 r −1 
=
ln 
 . Il diminue
α
f1  r + 1 
lorsque la fréquence du fondamental augmente c’est-à-dire pour les notes plus aigües. Le modèle
prévoit que l’amortissement des hautes fréquences est plus rapide que celui des basses fréquences,
cce qui est bien conforme à l’observation.
e) Le temps caractéristique d’amortissement est τ =
On peut envisager différentes améliorations du modèle :
modéliser les mouvements longitudinaux des cordes, dus à leur élasticité ;
modéliser le chevalet comme un oscillateur harmonique amortie pour tenir compte du fait
que l’énergie est également transférée depuis la table vers la corde. Le coefficient R serait alors
complexe, ce qui se traduit par un effet de filtrage des fréquences transmise de la corde à la table ;
modéliser le mouvement de la table d’harmonie en tant que surface vibrante possédant des
modes propres de vibration ;
modéliser l’interaction de la table avec l’air, ce qui se traduit par la création d’ondes sonores ;
modéliser le couplage des cordes avec le reste de la structure, en particulier le cadre.
Spé ψ 2013-2014
page 8/8
Devoir n°6