Devoir maison : entiers naturels et - PCSI

PCSI : Mathématiques
2015-2016
Devoir maison :
entiers naturels et dénombrement,
sommes, produits et coefficients binomiaux
En mathématique, c’est comme dans un roman policier ou un épisode de Columbo : le raisonnement
par lequel le détective confond l’assassin est au moins aussi important que la solution du mystère ellemême. CEDRIC VILLANI, Théorème vivant (2012)
Exercice 1 : Dénombrer c’est gagner !
Les deux parties sont indépendantes.
Partie 1 : Grilles de mots croisés
Une grille de mots croisés est un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes, constitué de n × p
cases dont certaines sont noircies et d’autres pas.
1. Dans cette question, on s’intéresse aux grilles à 6 lignes et 4 colonnes, avec 4 cases noircies.
(a) Combien de grilles différentes peut-on former ?
(b) Parmi ces grilles combien d’entre elles ont :
• au moins un coin noirci ?
• exactement une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
2. On s’intéresse maintenant aux grilles à n lignes et p colonnes avec k cases noircies (k ∈ [|1, np|]).
(a) Combien de grilles différentes peut-on former ?
(b) Parmi ces grilles, combien d’entre-elles ont :
• au plus une case noircie par colonne ?
• au plus une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
R
Partie 2 : Loto Foot7
R
Au Loto Foot7,
le joueur remplit une grille dans laquelle il indique ses pronostics pour 7 matchs de
football à venir. Pour chacun des matchs, il peut cocher une des 3 cases au choix :
• 1 pour une victoire de l’équipe qui reçoit ;
• N pour un match nul ;
• 2 pour une victoire de l’équipe qui se déplace ;
1. Combien de façons différentes un joueur peut-il remplir la grille ?
2. Combien existe-t-il de grilles dans lesquelles tous les pronostics sont faux ?
3. Pour gagner, il faut avoir trouvé au moins 6 pronostics exacts. Quel est le nombre de grilles gagnantes ?
1
2
Exercice 2 : Quelques nombres remarquables
Les deux parties sont indépendantes.
Partie 1
Pour a > 2, on note Ma = 2a − 1.
1. Calculer M2 , M3 , M5 , M7 et M11 .
2. On suppose que Ma est un nombre premier. Montrer que a est également un nombre premier.
Indication : Utiliser la démonstration par contraposée et remarquer que si a n’est pas premier alors
a = bc, avec b > 1 et c > 1. Que pensez-vous de la réciproque ?
3. On dit qu’un entier n > 2 est parfait lorsque la somme de ses diviseurs positifs est égale à 2n. On
suppose que Ma est un nombre premier. Démontrer que 2a−1 Ma est un nombre parfait.
Facultatif : Écrire une fonction en Python appelé diviseur(n) qui renvoie la liste de tous les
diviseurs d’un nombre entier et vérifier que 8128 est un nombre parfait.
Partie 2
n
Pour n > 0, on définit Fn = 22 + 1.
1. Calculer F0 , F1 , F2 , F3 et F4 .
2. Montrer que :
(a) pour tout n ∈ N, Fn+1 = (Fn − 1)2 + 1.
n−1
Q
(b) pour tout n > 1, Fn − 2 =
Fk .
k=0
3. En déduire que si m 6= n, Fn et Fm sont premiers entre eux.
Facultatif : Écrire une fonction pgcd en Python basée sur l’algorithme d’Euclide qui renvoie le
PGCD de deux entiers et vérifier que PGCD(F3 , F4 )=1.
4. Retrouver alors une autre démonstration du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Indication : ∀n ∈ N, regarder un diviseur premier de Fn .
5. F0 , F1 , F2 , F3 et F4 sont-ils premiers ? Si ce n’est pas le cas, donner sa décomposition en facteurs
premiers.
Facultatif : Pour ce faire, écrire une fonction test en Python basée sur le test de la racine carrée
pour savoir si un entier est premier ou non, puis la fonction prem(n) qui dresse la liste des nombres
premiers compris entre 2 et n. Enfin écrire la fonction decomp qui renvoie la décomposition en
facteurs premiers.