Examen du 31 août 2016, partie Probabilités
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Examen du 31 août 2016, partie Probabilités
NOM ANNEE MATRICULE N’oubliez surtout pas : — de noter votre nom et matricule sur toutes les feuilles — d’écrire lisiblement — de justifier de manière claire et succinte tous vos raisonnements et calculs. — que l’espace des réponses est limité au dos de cette feuille et à la feuille attachée (recto-verso). Le brouillon hors de ces trois pages n’est pas limité, mais il ne sera pas pris en considération (il ne sera pas lu). Répartition des notes Question 1 3 Question 2 1+2 Question 3 4 Total 10 UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences Examen MATH-F-315, partie A : calcul de probabilités le 31 août 2016 Enseignant : Maarten Jansen 1. Pour l’organisation de ses trajets, une compagnie de taxi a classé les rues principales d’une ville en trois groupes : dans les rues classées importantes (A), représentant 20% du total des rues, il passe un taxi en moyenne toutes les 2,5 minutes. Les rues classées secondaires (B), ayant un intervalle moyen de 4 minutes, comptent pour 30% du total, alors que les autres rues (C) sont desservies, toujours en moyenne, toutes les 6 minutes. Evidemment les passages d’un taxi sont sujets à des fluctuations, de sorte que le temps entre deux passages se caractérise par une perte de mémoire. Après une attente de 3 minutes dans une rue principale (A, B ou C) sans taxi, calculer la probabilité qu’un taxi arrive dans une minute (ou moins). 2. a. Soit X une variable aléatoire mixte, et soit B la variable binaire indiquant si X prend la valeur zéro : B = 0 quand X = 0 et B = 1 quand X 6= 0. Soit p la valeur non nulle telle que p = P (B = 0) = P (X = 0). Pour les autres réels x, la probabilité P (X = x) = 0. Montrer que var(X) = [E(X|B = 1)]2 · p(1 − p) + p · var(X|B = 1) Vous pouvez vous baser sur la règle var(X) = E[var(X|B)] + var[E(X|B)], dans laquelle E(X|B) représente une variable aléatoire, un multiple de la variable binaire : E(X|B) = E(X|B = 1) · B. b. Pour les pertes économiques des embouteillages, une compagnie de transports présume, par camion, un coût d’un euro par minute de retard. Un de ses camions est utilisé pour un trajet quotidien (lundi jusqu’à vendredi, 200 jours ouvrables par an), sur lequel le risque d’un embouteillage s’élève à 20%. Si un embouteillage se présente, le retard moyen est de 12 minutes, avec un écart-type de 3 minutes. Les embouteillages sont indépendants d’un jour à l’autre. Calculer l’espérance et l’écart-type de la perte économique accumulée pendant une année (200 jours) pour ce camion. 1 3. Les six graphiques ci-dessous représentent des courbes de niveaux de six lois bivariées pour les variables (X, Y ). Les lignes diagonales représentent la droite y = x. (Evidemment, les courbes tracées ne sont qu’une sélection parmi le nombre infini de courbes de niveaux possibles. Les courbes non représentées ont toujours le même aspect.) a. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) les variables X et Y ont la même espérance. D’où peut-on tirer cette conclusion ? b. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) les variables X et Y ont la même variance. D’où peut-on tirer cette conclusion ? c. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) les variables X et Y sont indépendantes. D’où peut-on tirer cette conclusion ? d. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) la loi sous-jacente est certainement une loi normale (gaussienne). y y (a) (b) x y y x y (d) x (c) x (f) x y (e) x 2 NOM ANNEE MATRICULE corrigé Question 1. — Soient T l’événement (observé) que le temps d’attente dépasse 3 minutes, A l’événement que la rue est classée primaire, B l’événement que la rue est secondaire, C l’événement que la rue est tertiaire et S l’événement sous considération que le temps d’attente est plus petit que 3+1=4 minutes. — Loi de la probabilité totale, version a posteriori : P (S|T ) = P (S|T, A)P (A|T ) + P (S|T, B)P (B|T ) + P (S|T, C)P (C|T ). Alors, P (S|T, A) = P (X ≤ 4|X > 3), où X ∼ exp(λ = 1/2, 5). Donc, en utilisant la perte de mémoire, P (X ≤ 4|X > 3) = P (X ≤ 1) = 1 − exp(−λ1) = 1 − exp(−2/5) De même, P (S|T, B) = 1 − exp(−4), et P (S|T, C) = 1 − exp(, — Formule de Bayes : P (A|T ) = = P (A)P (T |A) P (A)P (T |A) + P (B)P (T |B) + P (C)P (T |C) 0, 2 · 2/5 = 0, 1245 0, 2 · 2/5 + 0, 3 · 5/8 + 0, 5 · 9/12 De même, P (B|T ) = 0, 2918 et P (C|T ) = 0, 5836. — En mettant tout ensemble on trouve P (S|T ) = 1/2 · 0, 1245 + 1/5 · 0, 2918 + 1/9 · 0, 5836 = 18,55% . Question 2. (a) var(X) = E [var(X|B)] + var [E(X|B)] = var(X|B = 0)P (B = 0) + var(X|B = 1)P (B = 1) + var [E(X|B = 1) · B] = 0 + p · var(X|B = 1) + [E(X|B = 1)]2 · var(B) = p · var(X|B = 1) + [E(X|B = 1)]2 · p(1 − p) (b) Soit Xi la perte économique du jour i et X = 200 X Xi . i=1 En outre, soit B la variable binaire indiquant la présence d’un embouteillage (B = 0 s’il n’y en a pas, et B = 1 s’il y en a un). Alors, E(Xi ) = 0, 2 · 12 euro = 12/5 euro, et E(X) = 200 · 12/5 euro = 480 euro . Pour la variance, var(Xi ) = E[var(Xi |B)] + var[E(Xi |B)], on se base sur le résulat de la première partie de la question. var(Xi ) = 0, 2 · (3 euro)2 + 0, 2 · 0, 8 · (12 euro)2 = 24, 84 euro2 . Du coup, var(X) = 200 · var(Xi ) = 4968euro2 et σX = 70, 48 euro . 3 corrigé Question 3. (a) Les fonctions de densité étant symétriques, les espérances E(x) et E(Y ) sont les mêmes si et seulement si le centre des courbes de niveaux (concentriques) se trouve sur l’axe d’indentité y = x. Ceci est le cas dans les graphiques (c), (e) et (f). (b) Les variances var(X) et var(Y ) sont les mêmes si et seulement si un des axes principaux des ellipses coı̈ncide avec l’axe y = x. Les cas où les courbes de niveaux sont des cercles vérifient toujours cette condition. On a donc une réponse positive pour les graphiques (a), (d), (e) et (f). (c) Les variables X et Y sont indépendantes si les axes principaux des ellipses sont parallèles aux axes x = 0 et y = 0. Les cas où les courbes de niveaux sont des cercles vérifient toujours cette condition. L’indépendance est donc vérfiée aux cas des graphiques (a), (c), et (e). (d) La normalité (gaussiennité) des densités n’est jamais verifiable depuis quelques courbes de niveaux avec certitude absolue. 4