Université Louis Pasteur Strasbourg IUFM d`Alsace

Université Louis Pasteur Strasbourg
IUFM d’Alsace
Préparation au CAPES de mathématiques
Mercredi 21 et jeudi 22 février 2007
Thème : configurations de l’espace, orthogonalité dans l’espace, produit
scalaire
Exercice proposé
Une généralisation du théorème de Pythagore
On considère un tétraèdre ABCD tel que les triangles ABC, ACD et ADB soient
rectangles en A. Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD).
(1) Montrer que H est l’orthocentre du triangle BCD.
(2) Soit EF G un triangle rectangle en E et L le projeté orthogonal de E sur
(F G). Démontrer que :
1
1
1
=
+
.
2
2
EL
EF
EG2
En déduire que dans le tétraèdre ABCD :
1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2
AH
AB
AC
AD2
(3) Démontrer que :
AD2 + BC 2 = BD2 + AC 2 = CD2 + AB 2 .
(4) Démontrer que le carré de l’aire du triangle BCD est égal à la somme des
carrés des aires des triangles ABC, ACD et ADB.
Travail demandé
(1) Quels sont les connaissances et les savoir-faire mis en oeuvre dans la résolution
de cet exercice ? A quel niveau s’adresse-t-il ? Quelles en sont les principales
difficultés ?
(2) On considère un tétraèdre ABCD tel que BCD soit un triangle rectangle
isocèle en B tel que BC = b et que les triangles ABC, ACD et ADB soient
isocèles en A, avec AB = a. Déterminer une relation entre a et b pour que
le carré de l’aire du triangle BCD soit égal à la somme des carrés des aires
des triangles ABC, ACD et ADB. Que peut-on en conclure ?
(3) Proposer deux exercices présentant des problèmes métriques dans des configurations usuelles de l’espace.
Vous rédigerez sur votre feuille vos réponse aux questions 2 et 3.
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