TD d`électrostatique n 1 Champs et potentiels électrostatiques

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD d’électrostatique no 1
Champs et potentiels électrostatiques
Exercice 1 -
Champ sur l’axe d’un doublet de charges opposées.
Deux charges ponctuelles opposées q et −q sont placées respectivement en A et B sur l’axe (Ox), à une distance a de
−
→
part et d’autre du point O. On note E (M ) le champ électrostatique et V (M ) le potentiel électrostatique créés par
ces deux charges en un point M de l’axe (Ox).
−
→
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (M ) ?
−
→
2 . Donner l’expression du champ électrostatique E (M ) en fonction de q, a et x.
3 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M ) en fonction de q, a et x.
−
→
4 . Retrouver l’expression du champ électrostatique E (M ).
5 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex (x).
6 . Analyser l’existence de positions d’équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l’axe (Ox).
q
O
−q
b
A
x
b
B
M (x)
q
1
1
−
−
e→
x
4πǫ0 (x + a)2
(x − a)2
−
→
1
1
q
−
+
e→
pour tout point M de l’axe (Ox) tel que 0 6 |x| < a, on a E (M ) =
x
2
2
4πǫ
(x
+
a)
(a
−
x)
0
q
1
1
3. Réponse : V (M ) =
pour x 6= ±a
−
4πǫ0 |x + a| |x − a|
6. Réponse : aucune position d’équilibre.
−
→
2. Réponse : pour tout point M de l’axe (Ox) tel que |x| > a, on a E (M ) =
Exercice 2 -
Charges placées aux sommets d’un polygone régulier.
Un ensemble de n charges ponctuelles identiques égales à q est réparti dans le plan (Oxy) sur les n sommets d’un
polygone régulier de centre O et de rayon R (sur la figure est représenté le cas d’un hexagone). On note V (M ) le
potentiel électrostatique créé en un point M de l’axe (Oz) par cette distribution.
z
1 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M ) en
fonction de n, q, R et z.
× M (z)
−
→
2 . En déduire l’expression du champ électrostatique E (M ).
y
3 . Tracer l’allure des courbes V (z) et Ez (z).
4 . Existe-t-il des positions d’équilibre pour une charge ponctuelle
Q mobile sur l’axe (Oz) ? Analyser leur stabilité.
S. Bénet
O
x
1
−
→
nqz
nq
−
→
2. Réponse : E (M ) =
ez
4πǫ0 (z 2 + R2 )1/2
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
4. Réponse : la position z = 0 est une position d’équilibre, stable si Q et q sont de signes opposés.
1. Réponse : V (M ) =
Exercice 3 -
Surface équipotentielle.
Une distribution de charge D est contenue dans un plan (Oxy). Elle est constituée par la charge −q placée au point
A(−1, 0) et par la charge 2q placée au point B(+1, 0). On note V (M ) le potentiel électrostatique créé en un point
M (x, y).
1 . Quelle est la relation simple entre AM et BM pour tout point M de l’équipotentielle V = 0 ?
2 . Montrer que l’équipotentielle V = 0 est un cercle C. Déterminer la position de son centre C ainsi que de son
rayon.
2. Réponse : C(− 35 , 0) et R =
1. Réponse : BM = 2 AM
Exercice 4 -
4
3
Équilibre d’une boule chargée.
Deux boules identiques A et B sont distantes de D = 1 m et fixes. Elles portent initialement une même charge q. On
met en contact avec la boule A une boule C identique aux deux autres, portant initialement une charge nulle.
1 . Quelle est la charge q ′ acquise par la boule C ?
2 . Exprimer puis calculer la distance x0 entre la boule A et la boule C lorsque cette dernière est dans une position
d’équilibre.
3 . L’équilibre est-il stable ou instable ?
x
A
1. Réponse : q ′ =
1
q
2
2. Réponse : x0 =
D
√
1+ 2
C
B
3. Réponse : il s’agit d’une position d’équilibre stable.
Exercice 5 -
Électromètre.
Un électromètre est constitué de deux petites boules conductrices identiques de
même masse m, suspendues à deux fils isolants de même longueur ℓ. Au repos
- les boules n’étant pas chargées - les fils sont tous deux verticaux et les boules
se touchent. On transmet par contact une charge totale Q aux boules.
O
b
−
→
g
ℓ
1 . Déterminer la relation vérifiée par l’angle α formé à l’équilibre par chacun
des fils avec la verticale.
B
2 . En supposant que α ≪ 1 , calculer α.
Données : Q = 10−8 C ; m = 1 g ; g = 9, 8 m · s−2 ;
Réponse :
S. Bénet
α
ℓ
A
1
= 9 · 109 N · m2 · C−2 .
4πǫ0
Q2
sin3 α
=
cos α
64πǫ0 ℓ2 mg
2/4
Exercice 6 -
Arc de cercle uniformément chargé.
Un arc de cercle de centre O, de rayon R et d’angle au sommet 2α porte une charge Q uniformément répartie sur sa
−
→
longueur. On note (Ox) sa bissectrice et E (O) le champ électrostatique créé au point O.
Un point P de la distribution de charges est repéré par l’angle θ indiqué sur la figure.
−
→
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (O) ?
−
→
2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire dE (O) créé en O
par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centré
P.
−
→
3 . En déduire l’expression du champ électrostatique E (O) en fonction
de Q, R et α.
P
Exercice 7 -
x
O
C
4 . Analyser les cas α → 0 et α → π.
−
→
Réponse : E (O) =
α
θ
sin α −
Q
e→
x
2
4πǫ0 R
α
Demi-cercles portant des charges opposées.
y
Un cercle de centre O et de rayon R est découpé en deux demi-cercles C1
et C2 , portant les charges opposées respectives Q et −Q uniformément
−
→
réparties. On s’intéresse au champ électrostatique E (O) créé au point
O par cette distribution.
C1
C2
x
−
→
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (O) ?
O
−
→
2 . Déterminer l’expression du champ électrostatique E (O) en fonction
de Q et R.
−
→
Réponse : E (O) =
Exercice 8 -
Q
−
e→
x
π 2 ǫ0 R 2
Cercle non uniformément chargé.
y
Un cercle C de centre O et de rayon R est caractérisé par une densité
linéique de charge λ qui varie en fonction de la position du point P sur
le cercle, suivant la loi λ(θ) = λ0 cos θ, avec λ0 une constante.
−
→
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (O) ?
−
→
2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire dE (O) créé en O
par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centré
P.
−
→
3 . En déduire l’expression du champ électrostatique E (O) en fonction
de λ0 et R.
P
θ
O
x
C
−
→
λ0 −
Réponse : E (O) = −
e→
x
4ǫ0 R
S. Bénet
3/4
Exercice 9 -
Champ sur l’axe d’un segment chargé.
Un segment [A, B] de l’axe (Ox) est chargé uniformément et est caractérisé par sa densité linéique de charge λ, les
−
→
points A et B étant situés à une distance a du point O. On note E (M ) le champ électrostatique et V (M ) le potentiel
électrostatique créés en un point M de l’axe (Ox) et situé en dehors du segment chargé.
−
→
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (M ) ?
2 . En repérant la position d’un point P de la distribution de charge par son abscisse X, exprimer le champ
−
→
électrostatique élémentaire dE (M ) créé en M par la charge élémentaire portée par l’élément de longueur élémentaire
centré en P .
−
→
3 . En déduire l’expression du champ E (M ) en fonction de λ, a et x.
4 . En repérant la position d’un point P de la distribution par son abscisse X, déterminer l’expression du potentiel
électrostatique V (M ) en fonction de λ, a et x.
−
→
5 . Retrouver l’expression du champ électrostatique E (M ).
6 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex (x).
7 . Analyser le cas a ≪ x.
O
A
B
b
M (x)
2a
−
→
3. Réponse : E (M ) =
λa
−
e→
x
2πǫ0 (x2 − a2 )
4. Réponse : pour x > a , on a : V (M ) =
Exercice 10 -
λ
ln
4πǫ0
x+a
x−a
x
b
Expérience de Rutherford.
Une fine feuille d’or (Z = 79) est bombardée par des particules
α, c’est-à-dire des noyaux d’hélium . Ces particules sont projetées
avec une énergie cinétique E0 = 10 M eV . On constate qu’une
faible partie des particules incidentes est renvoyée dans la direction
opposée, à cause de leur "rebond" sur les noyaux d’or.
Données : 1 eV = 1, 6 · 10−19 J,
mproton ≃ mneutron
e = 1, 6 · 10−19 C,
1
= 1, 6·10−27 kg ,
= 9·109N· m2 ·C−2 .
4πǫ0
noyau
bc cb cb
bc
bc bc bc
B
A
d
En traduisant la conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale A des particules α et leur position
d’approche minimale B, exprimer la distance d’approche minimale d au noyau en fonction des données. Calculer d.
Réponse : d =
S. Bénet
2Ze2
4πǫ0 E0
4/4