Influence de la structure du réseau

Phénomènes de diffusion dans les résaux
Clémence Magnien1
Un réseau est un ensemble de nœuds, liés les uns aux autres par une relation.
On rencontre beaucoup de réseaux de différents types dans la réalité : réseaux
sociaux constitués de personnes se connaissant les unes les autres, réseaux de
communication constitués de personnes commnuniquant par un moyen donnné,
le courier électronique par exemple, réseaux informatiques où des ordinateurs
sont reliés par des câbles, réseaux de collaboration, et beaucoup d’autres encore.
Sur ces réseaux se propagent des phénomènes de diffusion, comme par exemple une maladie qui se répand sur le réseau des contacts entre personnes, une
rumeur qui se répand dans un réseau social, un virus informatique qui se répand
d’ordinateur en ordinateur par le biais du courrier électronique, . . . Dans tous
ces contextes, la diffusion s’effectue de proche en proche dans le réseau : un
nœud ne peut être touché par le phénomène que si au moins un de ses voisins
est touché.
Dans ce cours, nous ferons un tour d’horizon des différentes questions qui se
posent pour l’étude des phénomènes de diffusion, ainsi que des différents travaux
sur ce sujet.
Influence de la structure du réseau
Jusqu’à récemment, les travaux qui ont été effectués sur les diffusions faisaient
l’hypothèse que les réseaux concernés pouvaient être représentés par des réseaux
aléatoires (un résau aléatoire est un réseau dans lequel les liens sont placés entre
des paires de nœuds choisies au hasard).
Sur ce type de réseaux, l’un des modèles les plus étudiés dans le cadre de
la diffusion d’épidémies, le modèle SIS [DH00], a le comportement suivant :
en dessous d’une valeur critique du taux de diffusion, les infections finissent
toujours par disparaı̂tre d’elles-mêmes. Au dessus de cette valeur par contre,
toutes les infections perdurent à long terme dans le réseau. Cette valeur critique
est appelée un seuil.
Depuis quelques années, on sait que les réseaux aléatoires ne ressemblent pas
aux réseaux réels sur lesquels les diffusions se propagent. En particulier, dans
un réseau aléatoire, tous les nœuds ont quasiment le même degré 2 , alors que
les réseaux réels ont des degrés hétérogènes, c’est-à-dire qu’il y a beaucoup de
nœuds de faible degré, mais un nombre non négligeable de nœuds de très fort
degré [WS98, AB99].
Il a été constaté que cette caractéristique a une très grande influence sur
les diffusions : pour des réseaux à degrés hétérogènes, le phénomène de seuil
disparaı̂t, et toutes les infections perdurent à long terme dans le réseau, quelle
que soit leur force de contamination [PSV01, GMT05].
1 http://clemence.magnien.free.fr
[email protected]
2 Le degré d’un nœud est le nombre de liens qui lui sont attachés
1
Ceci montre qu’un point clé de la compréhension des phénomènes de diffusion
est la compréhension de l’influence de la structure d’un réseau sur les diffusions
qui s’y propagent. Voir par exemple [DB02, BPSV03, CLL+ 05] pour d’autres
travaux sur cette question.
Analyse
Dans ce que nous avons presenté jusqu’à présent, le seul paramètre qui a été
considéré pour comparer des diffusions est l’évolution du nombre de nœuds
touchés par le phénomène au fil du temps. Ceci est tout à fait insuffisant pour
décrire de façon fine une diffusion.
Une solution pour décrire ces phénomènes consiste à introduire des mesures
qui permettent de les résumer pour en extraire des informations plus concises
et intelligibles. Ces mesures devraient pouvoir répondre à des questions comme,
quelle est la vitesse de propagation de la diffusion, quels types de nœuds sont
touchés, la diffusion reste-t-elle confinée dans un seul groupe de nœuds ou au
contraire se répand-elle uniformément à tout le réseau, etc.
Quelques travaux ont déjà été entamés dans cette direction, voir par exemple
[BBPSV05].
Mesure
Pour terminer, jusqu’à présent nous n’avons parlé que de modèles de phénomènes
de diffusion. Il est bien entendu très important de pouvoir étudier des diffusions réelles, pour pouvoir proposer des modèles réalistes et valider les résultats
théoriques.
Pour mesurer un phénomène de diffusion, il faut capturer deux choses : le
phénomène de diffusion lui-même, c’est-à-dire la connaissance de quels nœuds
sont touchés à quels moments, ainsi que le réseau sur lequel se fait la diffusion.
La capture d’un réseau est un problème difficile, qui a reçu beaucoup d’attention au cours des dernières années, voir par exemple [GL05]. Cependant,
malgré toutes les avancées qui ont été faites dans ce domaine, mesurer de façon
fiable un réseau reste quelque chose de très délicat.
De même, mesurer un phénomène de diffusion est une tâche difficile. Des
travaux ont été effectués dans ce sens, visant à découvrir quels nœuds sont
touchés par une diffusion donnée, par exemple une épidémie, ou des virus informatiques [WHO, sen]. Ces efforts, bien qu’apportant des informations très
utiles, ne permettent pas encore d’avoir assez d’informations.
Mesurer de façon fiable un phénomène de diffusion sur un réseau combine
donc les difficultés de la mesure d’un réseau et de la mesure de la diffusion, ce
qui rend la tâche très ardue et explique qu’il y ait très peu de résultats dans ce
domaine.
Il existe cependant des possibilités de mesurer certains phénomènes de diffusion, et des travaux dans cette direction commencent à se développer.
Pour conclure, les efforts les plus importants dans le domaine ont porté
sur l’étude de l’influence de la structure du réseau sur les diffusions qui s’y
propagent.
2
Bien qu’ayant reçu comparativement moins d’attention, les questions de
l’analyse et de la mesure des diffusions sont des questions très importantes,
et des travaux commencent à être faits dans ces directions.
References
[AB99]
R. Albert and A.-L. Barabási. Emergence of scaling in random
networks. Science, 286:509–512, 1999.
[BBPSV05] Marc Barthelemy, Alain Barrat, Romualdo Pastor-Satorras, and
Alessandro Vespignani. Dynamical patterns of epidemic outbreaks
in complex heterogeneous networks. Journal of Theoretical Biology,
235:275–288, 2005. cont-mat/0410330.
[BPSV03]
M. Boguná, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. Epidemic
spreading in complex networks with degree correlations. Lecture
Notes in Physics, 625:127–147, 2003.
[CLL+ 05]
Anne-Ruxandra Carvunis, Matthieu Latapy, Annick Lesne,
Clémence Magnien, and Laurent Pezard. Dynamics of three-state
excitable units on poisson vs power-law random networks. To appear in Physica A, 2005.
[DB02]
Z. Dezsö and A.-L. Barabási. Halting viruses in scale-free networks.
Phys. Rev. E, 65, 2002. cond-mat/0107420.
[DH00]
O. Diekmann and J. Heesterbeek. Mathematical epidemiology of infectious diseases: model building, analysis and interpretation. John
Wiley & sons, New York, 2000.
[GL05]
J.-L. Guillaume and M. Latapy. Complex network metrology. Complex Systems, 2005. To appear, http://www.liafa.jussieu.fr/
~latapy/index.php?item=publis\&lang=fr.
[GMT05]
A. Ganesh, L. Massoulie, and D. Towsley. The effect of network
topology on the spread of epidemics. In IEEE INFOCOM, 2005.
[PSV01]
R. Pastor-Satorras and A. Vespignani. Epidemic spreading in scalefree networks. Phys. Rev. Lett., 86:3200–3203, 2001.
[sen]
Réseau sentinelles. http://rhone.b3e.jussieu.fr/senti.
[WHO]
Communicable Disease Surveillance & Response World Health Organisation. Surveillance of sars. http://www.who.int/csr/sars/
country/en/.
[WS98]
D.J. Watts and S.H. Strogatz. Collective dynamics of small-world
networks. Nature, 393:440–442, 1998.
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