Diaporama sur les séries de Taylor

Séries
de Taylor
Série de puissances centrée en x = a
∞
X
n=0
an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
Exemple de séries de puissances
∞
X
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · =
n=0
Coefficients : an = 1
1
1−x
( |x| < 1 )
Centre : a = 0
∞
X
1
1−x
xn =
n=0
∞
X
(−1)n (x − 1)n =
n=0
∞
X
1
x
(−1)n (n + 1)(x − 1)n =
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
1
x2
(x − 1)n+1
= ln(x)
n+1
x2n =
1
1 + x2
x2n+1
= atan(x)
2n + 1
a=1
|x| < 1
a=1
|x − 1| < 1
a=1
|x − 1| < 1
a=1
|x − 1| < 1
a=0
|x| < 1
a=0
|x| < 1
Séries de puissances pour une
fonction donnée
Exemple : f (x) = e x
f (x) = e x
a
x
ex =
∞
X
an (x − a)n
n=0
an = ? ?
Pour a quelconque
e x = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
Pour a = 0
e = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
x
Pour simplifier les calculs, on commence
par trouver les an dans le cas a = 0.
e x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
On veut les ak tels que :
e = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
x
Si x = 0, on doit avoir
e0 = a0 + a1 0 + a2 02 + a3 03 + · · ·
1 = a0
d0 x a0 = 1 0 e dx x=0
e x = 1 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
0
e x 0 = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
e x = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + · · ·
e0 = a1 + 2a2 0 + 3a3 02 + 4a4 03 + · · ·
1 = a1
a1 = 1
d1 x e
dx1 x=0
e x = 1 + x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + · · ·
d2 x
d2 2
3
4
e
=
a
+
a
x
+
a
x
+
a
x
+
a
x
·
·
·
0
1
2
3
4
dx2
dx2
d x
d e =
a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 · · ·
dx
dx
x
e = 1 · 2a2 + 2 · 3a3 x + 3 · 4a4 x2 + · · ·
e0 = 1 · 2a2 + 1 · 2 · 3a3 (0) + 3 · 4a4 02 + · · ·
1 = 2!a2
a2 =
1 d2 x e
2! dx2 x=0
d n
x = nxn−1
dx
d2 n
x = (n − 1)nxn−2
dx2
d3 n
x = (n − 2)(n − 1)nxn−3
dx3
..
.
dn−1 n
x = 2 · 3 · · · (n − 2)(n − 1)n x
dxn−1
n
d n
x = 1 · 2 · 3 · · · (n − 2)(n − 1)n
dxn
dn n
x = n!
dxn
Fonction factorielle
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1)n
Convention : 0! = 1.
ex = 1 + x +
1 2
x + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + · · ·
2!
d3 d3 x
e = 3 a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + · · ·
3
dx
dx
e x = 1 · 2 · 3 a3 + 2 · 3 · 4 a4 x + 3 · 4 · 5 a5 x2 + · · ·
e0 = 1 · 2 · 3 a3 + 2 · 3 · 4 a4 (0) + 3 · 4 · 5 a5 (0)2 + · · ·
1 = 3!a3
1 d3 x e a3 =
3! dx3 x=0
1 d0 x =1
e a0 =
0! dx0 x=0
1 d1 x a1 =
=1
e 1! dx1 x=0
1 d2 x 1
a2 =
=
e 2
2! dx
2
x=0
..
.
an =
1 dn x 1
e
=
n
n! dx
n!
x=0
e x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+ ···
2! 3!
ex =
∞
X
an xn
n=0
an =
f (n) (0)
n!
Exercice
Trouver an pour la série de Taylor de e x centrée en x = a.
Coefficients d’une série de Taylor pour une
fonction quelconque
f (x) =
∞
X
an (x − a)n
n=0
= a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
an = ? ?
Recherche de a0
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = a0 + a1 (a − a) + a2 (a − a)2 + a3 (a − a)3 + · · ·
f (a) = a0
a0 = f (a)
Recherche de a1
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
f 0 (x) = a1 + 2a2 (x − a) + 3a3 (x − a)2 + 4(x − a)3 + · · ·
f 0 (a) = a1 + 2a2 (a − a) + 3a3 (a − a)2 + 4(a − a)3 + · · ·
f 0 (a) = a1
a1 = f 0 (a)
Recherche de a2
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
f 00 (x) = 2a2 + 2 · 3 a3 (x − a) + 3 · 4 a4 (x − a)2 + 4 · 5 a5 (x − a)3 ·
f 00 (a) = 2a2 + 2 · 3 a3 (a − a) + 3 · 4 a4 (a − a)2 + 4 · 5 a5 (a − a)3 ·
f 00 (a) = 2a2
a2 =
f 00 (a)
2
Recherche de a3
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
f (3) (x) = 3!a3 + 2 · 3 · 4 a4 (x − a) + 3 · 4 · 5 a5 (x − a)2 + 3 · 4 · 5 a
f (3) (a) = 3!a3 + 2 · 3 · 4 a4 (a − a) + 3 · 4 · 5 a5 (a − a)2 + 3 · 4 · 5 a
f (3) (a) = 3!a3
a3 =
f (3) (a)
3!
Recherche de an
f (n) (x) = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1)an
+ 2 · 3 · 4 · · · n(n + 1)an+1 (x − a)
+ 3 · 4 · 5 · · · (n + 1)(n + 2)an+2 (x − a)2
+ 4 · 5 · 6 · · · (n + 2)(n + 3)an+3 (x − a)3
..
.
f (n) (a) = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1)nan
+ 2 · 3 · 4 · · · n(n + 1)an+1 (a − a)
+ 3 · 4 · 5 · · · (n + 1)(n + 2)an+2 (a − a)2
+ 4 · 5 · 6 · · · (n + 2)(n + 3)an+3 (a − a)3
..
.
= n!an
an =
f (n)
n!
Si f (x) =
∞
X
n=0
an (x − a)n , alors an =
f (n) (a)
n!
Soit f : R → R
infiniment différentiable :
Série de Taylor de f
centrée en x = a
∞
X
an (x − a)n , an ∈ R
Série de Maclaurin de f
∞
X
an xn , an ∈ R
n=0
n=0
où an =
f (n) (a)
n!
où an =
f (n) (0)
n!
Exemple
f (x) = e x ,
ex =
∞
X
a=1
an (x − 1)n
n=0
où an =
f (n) (1)
n!
an =
f (n) (a)
= ??
n!
f (x) = e x
f (n) (x) = e x
f (n) (1) = e1
f (n) (1)
e
=
n!
n!
ex =
∞
X
e
(x − 1)n
n!
n=0
Exemple
f (x) = ln(x),
ln(x) =
∞
X
a=1
an (x − 1)n
n=0
où an =
f (n) (1)
n!
f (x) = ln(x)
f 0 (x) = x−1
f 00 (x) = (−1)x−2
f (2) (x) = (−1)(−2)x−3
f (4) (x) = (−1)(−2)(−3)x−4
..
.
f (n) (x) = (−1)n+1 (n − 1)!x−n
f (n) (1) = (−1)n+1 (n − 1)!
an =
f (n) (1) (−1)n+1 (n − 1)! (−1)n+1
=
=
n!
n!
n
(n − 1)! 1 · 2 · 3 · · · (n − 2)(n − 1)
1
=
=
n!
1 · 2 · 3 · · · (n − 2)(n − 1)(n) n
ln(x) =
∞
X
(−1)(n+1)
n=0
n
(x − 1)n
Exemple
f (x) = cos(x),
cos(x) =
∞
X
a=0
an xn
n=0
où an =
f (n) (0)
n!
f (x) = cos(x)
f (0) = cos(0) = 1
f 0 (x) = − sin(x)
f 0 (0) = − sin(0) = 0
a1 = 0/1! = 0
f (x) = − cos(x)
f (0) = − cos(0) = −1
a2 = −1/2!
00
f
(3)
(x) = sin(x)
f (4) (x) = cos(x)
..
.
00
f
(3)
(0) = sin(0) = 0
f (4) (0) = cos(0) = 1
..
.
a0 = 1/0!
a3 = 0/3! = 0
a4 = 1/4!
..
.
cos(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + · · ·
cos(x) = 1 + (0)x +
−1 2
1
x + (0)x3 + x4 + (0)x5 + · · ·
2!
4!
∞
cos(x) = 1 −
X x2n
x2 x4 x6
+
+
+ ··· =
2! 4! 6!
(2n)!
n=0
Exercice
∞
sin(x) = x −
X x2n+1
x3 x5 x7
+
+
+ ··· =
3! 5! 7!
(2n + 1)!
n=0
∞
ex = 1 + x +
X xn
x2 x3
+
+ ··· =
2! 3!
n!
n=0
∞
cos(x) = 1 −
X x2n
x2 x4 x6
+
+
+ ··· =
2! 4! 6!
(2n)!
n=0
∞
sin(x) = x −
X x2n+1
x3 x5 x7
+
+
+ ··· =
3! 5! 7!
(2n + 1)!
n=0
ln(x) =
∞
X
(−1)(n+1)
n=0
n
(x − 1)n
Pour quelles valeurs de x ces séries approximent les fonctions ?
e3 =
∞ n
X
3
n=0
ln(3) =
n!
converge ?
∞
X
(−1)(n+1)
n=0
n
(2)n converge ?
Pour f (x) quelconque, pour quelles valeurs de x série de Taylor
centrée en x = a converge et est-ce que
∞
X
f (n) (a)
?
f (x) =
an (x − a)n an =
n!
n=0