Pr sentation de la Logique Floue

Prsentation de la Logique Floue
Frdric Sur
sous la direction de Jrme Lacaille
Ecole Normale Suprieure de Cachan
Magistre de Mathmatiques
Mmoire de premire anne
Anne 1997/1998
Table des mati
res
Introduction
1 Elments de thorie des sous-ensembles ous
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Gnralits . . . . . . . . . . . . . . .
Notions caractristiques . . . . . . . .
Oprations sur les sous-ensembles ous
Les -coupes . . . . . . . . . . . . . .
Normes et co-normes triangulaires . . .
Relations oues . . . . . . . . . . . . .
Quantits oues sur R . . . . . . . . .
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3
5
5
5
6
9
9
10
12
2 Le raisonnement en logique oue
15
3 La dfuzzication
23
4 Une application : estimation de l'objectif d'un missile
25
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Les implications oues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les propositions oues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjonction de propositions oues . . . . . . . . . . . . . . . .
Deux cas particuliers : les mthodes de Mamdani et de Larsen
Un exemple : le pendule invers . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
16
17
17
3.1 La mthode du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 La mthode du centre de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Prsentation . . . . . . . . . . . . . .
Les donnes . . . . . . . . . . . . . .
Fuzzication . . . . . . . . . . . . . .
L'algorithme ou et la dfuzzication
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion
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35
Introduction
La plupart des problmes rencontrs sont modlisables mathmatiquement. Mais ces modles ncessitent des hypothses parfois trop restrictives,
rendant dlicate l'application au monde rel. Les problmes du monde rel
doivent tenir compte d'informations imprcises, incertaines. Prenons l'exemple d'une climatisation : si on veut obtenir une temprature frache, on peut se
demander quelle gamme de tempratures conviendra (la demande est imprcise) de plus la abilit des capteurs entre en jeu (la mesure de la temprature ambiante est incertaine). On voit apparatre la dicult d'interprtation
des variables linguistiques comme frais, chaud, . . .ainsi que du traitement de
ces donnes entaches d'incertitude.
Une approche fut dveloppe partir de 1965 par Lofti A. Zadeh, professeur l'Universit de Californie Berkeley, base sur sa thorie des sousensembles ous (fuzzy sets en anglais), gnralisant la thorie des ensembles
classique. Dans la nouvelle thorie de Zadeh, un lment peut plus ou moins
appartenir un certain ensemble. Les imprcisions et les incertitudes peuvent
ainsi tre modlises, et les raisonnements acquirent une exibilit que ne
permet pas la logique classique : la Logique Floue tait ne.
De nombreuses applications sont alors dveloppes dans divers domaines,
l o aucun modle dterministe n'existe ou n'est pratiquement implmentable, ainsi que dans des situations pour lesquelles l'imprcision sur les donnes
rend le contrle par des mthodes classiques impossible.
Dans ce qui suit, on dveloppera d'abord la thorie des sous-ensembles
ous, puis on prcisera le raisonnement en logique oue, on examinera les mthodes d'exploitation des rsultats obtenus, et enn on verra une application
eective.
3
1 Elments de thorie des sous-ensembles ous
1.1 Gnralits
Dfinition 1 Soit X un ensemble. Un sous-ensemble ou A de X est dni
par une fonction d'appartenance fA sur X valeurs dans l'intervalle 0 1].
exemple: une fonction caractristique possible pour dnir le sous-ensemble
ou avoir une vingtaine d'annes .
Fig. 1: . . .avoir une vingtaine d'annes.
On voit ici que la fonction d'appartenance peut tre xe arbitrairement.
Un problme des applications pratiques est de dnir ces fonctions. On fait
gnralement appel des donnes statistiques ou l'avis d'un expert.
La notion de sous-ensemble ou englobe celle de sous-ensemble classique
pour laquelle fA est la fonction indicatrice A.
On notera ;(X ) la collection des sous-ensembles ous de X .
On crira parfois qu'un lment appartient un sous-ensemble ou avec
un certain degr. Il s'agira en fait de la valeur prise par la fonction d'appartenance du sous-ensemble ou au point considr.
1.2 Notions caractristiques
Soit A un sous-ensemble ou de X ,
Dfinition 2 Les notions suivantes sont caractristiques de A :
support de A : supp A = fx 2 X fA (x) =
6 0g.
hauteur de A : h(A) = supx2X fA(x),
A est dit normalis si h(A) = 1.
5
Les sous-ensembles ous considrs seront tous supposs normaliss ie
de hauteur gale 1.
noyau de A : noy AP= fx 2 X fA (x) = 1g.
cardinalit : jAj = x2X fA (x).
exemple: avec l'exemple de la page prcdente :
Fig. 2: notions caractristiques.
Dfinition 3 Si A et B sont deux sous-ensembles ous de l'ensemble X ,
on dit que :
1. A est plus spcique que B si noy A ( noy B et supp A supp B .
2. A est plus prcis que B si noy A = noy B , et supp A ( supp B .
remarque: si A est un sous-ensemble de X au sens classique, alors A est
normalis, A = supp A, A = noy A et jAj = card A.
1.3 Oprations sur les sous-ensembles ous
On dnit en thorie des sous-ensembles ous les mmes notions qu'en
thorie des ensembles classique. Pour deux sous-ensembles ous A et B de
l'ensemble X :
Dfinition 4 Egalit : A = B ssi 8x 2 X fA (x) = fB (x).
Dfinition 5 Inclusion : A B ssi 8x 2 X fA (x) 6 fB (x).
On peut construire par leur fonction d'appartenance :
Dfinition 6 Intersection : A \ B est dni par :
fA\B : x ;
7 ! min(fA (x) fB (x)) :
6
Dfinition 7 Union : A B est dni par :
fAB : x ;
7 ! max (fA (x) fB (x)) :
Mais comme on le verra au paragraphe 1.5 page 9, on dnit de manire
plus gnrale intersection et union par respectivement une t-norme ou une
t-conorme.
exemple: reprenons le cas dj envisag. On considre les personnes ayant
une vingtaine d'annes , et celles ayant la majorit (en pointills sur la
gure 3 : on considre un sous-ensemble non ou).
Fig. 3: les deux fonctions d'appartenance considres.
Selon les dnitions 6 et 7, on peut caractriser les sous-ensembles ous
correspondant aux personnes ayant une vingtaine d'annes et la majorit (cf gure 4) ainsi que celui des personnes ayant une vingtaine d'annes ou
Fig. 4: ayant une vingtaine d'annes et la majorit .
la majorit (cf gure 5).
7
Fig. 5: ayant une vingtaine d'annes ou la majorit .
Imaginons que l'on cherche des personnes ayant une vingtaine d'anne et
la majorit. D'aprs la gure 4 une personne age de 23 ans ne conviendra
qu'avec un degr d'appartenance gal 0 5 alors qu'une personne de 20 ans
conviendra tout fait (degr gal 1).
Proposition 1 Comme en thorie des ensembles classiques, on vrie que :
\ et sont associatives.
\ et sont commutatives.
\ et sont distributives l'une par rapport l'autre.
A = A et A X = X .
A \ X = A et A \ = .
A \ B A A B.
jAj + jB j = jA \ B j + jA B j.
On dnit galement le produit cartsien de sous-ensembles ous :
Dfinition 8 Si X1 ,X2 ,. . .,Xn sont des ensembles, et A1 2 ;(X1 ),
A2 2 ;(X2 ),. . ., An 2 ;(Xn ), on pose :
fA1 A2 An : x ;!
7 min(fA1 (x) fA2 (x) : : : fAn (x) ):
. . .ainsi que le complmentaire :
Dfinition 9 Le complmentaire AC d'un sous-ensemble ou A 2 ;(X ) est
dni par :
fAC : x ;
7 ! 1 ; fA (x):
Proposition 2 Les proprits suivantes sont satisfaites :
(A \ B )C = AC B C .
8
(A B )C = AC \ B C .
(AC )C = A.
jAj + jAC j = jX j.
Mais contrairement la thorie des ensembles : AC \ A =
6 , AC A =
6 X.
1.4 Les �-coupes
Soit A un sous-ensemble ou de X .
Dfinition 10 Une -coupe A de A est un sous-ensemble (au sens classique) de X , dni par :
A = fx 2 X fA (x) � g
o 2 0 1] est le seuil d'appartenance.
Proposition 3 Les -coupes vrient :
(A B ) = A B.
(A \ B ) = A \ B.
A B =) A B.
A1 = noy A.
A0 = X .
Thorme 1 On peut dcrire le sous-ensemble ou A partir de ses coupes de la manire suivante :
8x 2 X fA (x) = sup A (x):
2]01]
1.5 Normes et co-normes triangulaires
Dfinition 11 Une norme triangulaire (t-norme) est une application
> : 0 1] 0 1] ;! 0 1] telle que :
i) >(x y) = >(y x) (commutativit).
ii) >(x >(y z)) = > (>(x y) z) (associativit).
iii) >(x y) 6 >(z t) si x 6 z et y 6 t (monotonie).
iv) >(x 1) = x (1 est lment neutre).
L'oprateur min satisfait ces proprits.
Toute t-norme est un oprateur d'intersection, ie on peut dnir A \> B
(en accord avec la proposition 1) par sa fonction d'appartenance de la manire
suivante :
8x 2 X fA\� B (x) = > (fA (x) fB (x)) :
9
Dfinition 12 Une conorme triangulaire (t-conorme) est une application
? : 0 1] 0 1] ;! 0 1] telle que :
i) ?(x y) = ?(y x) (commutativit).
ii) ?(x ?(y z)) = ? (?(x y) z) (associativit).
iii) ?(x y) 6 ?(z t) si x 6 z et y 6 t (monotonie).
iv) ?(x 0) = x (0 est lment neutre).
L'oprateur max satisfait ces proprits.
Toute t-conorme est un oprateur d'union, ie on peut dnir A ? B
(toujours en accord avec la proposition 1) par sa fonction d'appartenance
ainsi :
8x 2 X fA� B (x) = ? (fA (x) fB (x)) :
Proposition 4 On peut passer d'une t-norme une t-conorme (et viceversa ) par une ngation n : 0 1] ;! 0 1] telle que n(0) = 1, n(1) = 0, et
n(x) 6 n(y) si x � y, de la fa!on suivante :
n(>(x y)) = ?(n(x) n(y)):
exemple: Quelques t-normes et t-conormes associes (pour la ngation
n(x) = 1 ; x) :
nom
o > 0.
t-norme
Zadeh
min(x y)
xy
probabiliste
Lukasiewicz max(x + y ; 1 0)
Hamacher 8+(1;)(xyx+y;xy)
< x si y = 1
x=1
Weber
: y0 sisinon
t-conorme
max(x y)
x + y ; xy
min(x + y 1)
x+y;xy;(1; )xy
1;(1; )xy
8
< x si y = 0
x=0
: y1 sisinon
1.6 Relations oues
Dfinition 13 Une relation oue R entre deux ensembles X et Y est un
sous-ensemble ou de X Y .
exemple: la relation oue R : approximativement gal peut tre dnie
sur R R par la fonction d'appartenance :
fR(x y) = 1 + (x1; y)2 :
10
Fig. 6: x approximativement gal 3.
. . .Comme pour les relations binaires . . .
Dfinition 14 . . .on eectue les oprations :
inverse R;1 d'une relation oue R entre X et Y :
8(x y ) 2 X Y fR;1 (y x) = fR (x y ):
composition de deux relations oues R1 (entre X et Y ) et R2 (entre Y
et Z ) :
8(x z ) 2 X Z fR1 R2 (x y ) = sup min(fR1 (x y ) fR2 (y z )) :
y2Y
remarque: cette dnition correspond celle classiquement utilise, mais on
peut remplacer min par une t-norme quelconque.
Dfinition 15 . . .et on dit que la relation oue R sur X est :
symtrique si : 8(x y) 2 X X fR(xy) = fR(y x),
y) > 0 =) x = y,
antisymtrique si : 8(x y) 2 X X ffR((x
y
x
)>0
R
rexive si : 8x 2 X fR (x x) = 1,
transitive si : R R R ie : 8(x y) 2 X X fRR (x y) 6 fR (x y).
Dfinition 16 Une relation d'ordre ou est une relation rexive transitive antisymtrique, et une relation de similarit est une relation rexive
transitive symtrique.
11
1.7 Quantits oues sur R
Dfinition 17 On dit que F est un sous-ensemble ou convexe de R si et
seulement si :
8(x y ) 2 R R 8z 2 x y ] fF (z ) � min(fF (x) fF (y )):
Proposition 5 Le sous-ensemble ou F est convexe si et seulement si toute
-coupe de F est une partie convexe de R.
Dfinition 18 On appelle les sous-ensembles ous normaliss Q des quan-
tits oues.
Dfinition 19 Si m 2 R est tel que fQ (m) = 1, m est une valeur modale
de la quantit oue Q.
Dfinition 20 Un intervalle ou de
R est une quantit oue convexe de
R. Un nombre ou est un intervalle ou, de fonction d'appartenance semicontinue suprieurement et support compact, admettant une seule valeur
modale.
Dfinition 21 Oprations arithmtiques sur les quantits oues :
opration unaire sur les quantits oues partir d'une opration
unaire ' sur R :
8z 2 R f�Q(z ) =
sup
fx2Rz�'(x)g
fQ(x)
opration binaire ? sur les quantits oues partir d'une opration
binaire sur R :
8z 2 R fQ?Q0(z ) =
sup
f(xy)2RRz�xyg
min(fQ(x) fQ0 (y))
exemple: On peut, avec ce qu'on a introduit, sommer ou multiplier des
nombres rels connus approximativement. Ce peut tre un cadre pratique
pour le calcul d'incertitudes.
12
Fig. 7: deux nombres ous.
Fig. 8: leur somme et leur produit.
13
2 Le raisonnement en logique oue
2.1 Les implications oues
Dfinition 22 Une implication oue est une relation R entre les deux en-
sembles X et Y quantiant le degr de vrit de la proposition :
SI (x 2 A) ALORS (y 2 B ),
o A et B sont des sous-ensembles ous de X et Y respectivement.
La fonction d'appartenance fR de cette relation dpend des fonctions
d'appartenance fA et fB de A et B .
En logique classique fA et fB ne prennent que les valeurs 0 ou 1, et fR
est dnie par :
fA (x) fB (y) fR(x y)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
En logique oue, on peut dnir plusieurs implications. On a regroup les
principales sur le tableau suivant.
Valeur de vrit
Nom
fRR (x y) 1 ; fA (x) + fA (x)fB (y)
Reichenbach
fA (x) fB (y)))
Willmott
fRW (x y) max(1
1 si;f f(Ax()x6) min(
f
(
y
)
A
B
fRRG (x y)
Rescher-Gaines
0 sinon
fRKD (x y) max(1
Kleene-Dienes
1 ; fsiA(fx)(xf)B6(y))f (y)
A
B
fRBG (x y)
Brouwer-G"del
f
(
y
)
sinon
B
( fB (y)
min( fA(x) 1) sifA(x) 6= 0
fRG (x y)
Goguen
1
sinon
fRL (x y) min(1 ; fA (x) + fB (y) 1)
Lukasiewicz
Mamdani
fRM (x y) min(fA (x) fB (y))
Larsen
fRP (x y) fA(x)fB (y)
Les deux dernires implications oues (Mamdani et Larsen) ne gnralisent pas l'implication classique, alors que c'est le cas des autres. Elles sont
nanmoins les plus utilises dans les commandes oues, comme on le verra
plus loin.
15
2.2 Les propositions oues
Comme en logique classique, on peut eectuer des raisonnements sur les
sous-ensembles ous, par exemple un raisonnement du type :
SI (x 2 A) ET (y 2 B ) ALORS (z 2 C ),
o A, B , C sont des sous-ensembles ous.
En logique classique, ce peut tre :
SI (x > 5) ET (y > 7) ALORS (xy > 35).
En logique oue, on aura une rgle du genre :
SI (vitesse est grande) ET (obstacle est proche) ALORS
(freinage est fort).
Tout le problme rside dans la dtermination du sous-ensemble ou des
z satisfaisant l'implication, connaissant x, y et les fonctions d'appartenance
de A, B , et C . Le sous-ensemble des solutions est ou car un z donn ralise
l'implication avec un degr plus ou moins grand.
Dfinition 23 Le sous-ensemble ou solution S a pour fonction d'appartenance :
fS (z) = fR((fA (x) ? fB (y)) fC (z))
o fR est la fonction d'appartenance d'une relation d'implication oue, et ?
une norme triangulaire (c'est un oprateur de conjonction traduisant le ET).
2.3 Conjonction de propositions oues
Le contrle d'un processus par commande oue ncessite de considrer
les direntes valeurs possibles pour les variables d'entre, et donc direntes
rgles pour chaque situation envisage. Ainsi, on considre un ensemble de
propositions oues, du genre :
SI (x 2 A1) ET (y 2 B1 ) ALORS (z 2 C1 ) P1
SI (x 2 A2) ET (y 2 B2 ) ALORS (z 2 C2 ) P2
...
SI (x 2 An ) ET (y 2 Bn ) ALORS (z 2 Cn )
Pn .
Pour dterminer le sous-ensemble ou solution deVla conjonction des n
propositions, il faut utiliser un oprateur d'agrgation permettant de faire
la synthse des solutions de chaque Pi .
Dfinition 24 Le sous-ensemble ou S des solutions du systme de propositions oues est dni par la fonction d'appartenance :
^
fS (z) = (fS1 (z) fS2 (z) : : : fSn (z)) :
16
Comme on le verra dans l'exemple 2.5, les rgles qui ne sont pas concernes
�
par l'observation (c'est dire la j eme
proposition si fAj (x) = fBj (y) = 0) ne
doivent pas intervenir dans la synthse.
Or : fAj (x) = fBj (x) = 0 implique : fAj (x) ? fBj (y) = 0 et donc :
fSj (z) = fR(0 fCj (z)). Ainsi si R est l'implication de Mamdani ou de Larcas fSj (z) = 1. Il convient alors d'utiliser
sen, fSj (z) = 0, et dans les autres
V
comme oprateur d'agrgation un oprateur admettant 0 comme lment
neutre dans le premier cas et 1 dans les autres.
On peut utiliser respectivement les oprateurs max et min.
2.4 Deux cas particuliers : les mthodes de Mamdani et
de Larsen
V
Examinons deux possibilits de choix pour R, ?, et .
mthode de :
Mamdani Larsen
implication oue R
RM
RL
oprateur de conjonctionV ? minimum produit
oprateur d'agrgation
maximum maximum
remarque: la mthode de Mamdani est aussi appele mthode min-max.
Avec ces dnitions la fonction d'appartenance du sous-ensemble ou des
solutions de la proposition Pi :
SI (x 2 Ai ) ET (y 2 Bi ) ALORS (z 2 Ci )
est :
Mamdani : fSi (z) = min(min(fAi (x) fBi (y)) fCi (z))
Larsen : fSi (z) = (fAi (x)fBi (y))fCi (z)
V
et dans les deux cas les solutions sont agrges par = max, ie le sousensemble ou S solution du systme des n propositions a pour fonction d'appartenance :
fS (z) = max(fS1 (z) fS2 (z) : : : fSn (z))
o si 1 6 i 6 n, Si est le sous-ensemble ou solution de la proposition Pi .
2.5 Un exemple : le pendule invers
On va tudier un processus de commande oue permettant de maintenir
en position verticale un pendule invers : une barre place sur un chariot
mobile pouvant tre dplac dans deux directions (cf gure 9 page suivante).
L'axe de rotation de la barre est solidaire du chariot.
17
Fig. 9: le pendule invers.
Ce processus de commande s'eectue en temps rel : on mesure la vitesse
angulaire ainsi que l'angle d'inclinaison de la barre, et on calcule chaque
instant la vitesse devant tre applique au chariot pour rattraper le mouvement de rotation de la barre et la maintenir dans la position la plus verticale
possible.
On suppose que l'on peut qualier la vitesse angulaire et l'angle d'inclinaison de la barre ainsi que la vitesse du chariot par :
NG : Ngatif Grand
NF : Ngatif Faible
Z : Zro
PF : Positif Faible
PG : Positif Grand.
On utilise les fonctions d'appartenance de la gure 10
Considrons par exemple que la barre est en position verticale et que
sa vitesse angulaire est faible, dans le sens + (sens inverse de celui des
aiguilles d'une montre). On doit alors compenser le mouvement de la barre
en dpla!ant le chariot dans la direction + (vers la gauche) une vitesse
faible.
D'o la rgle oue :
SI (angle est zro) ET (vitesse angulaire est positive faible)
ALORS (vitesse est positive faible).
On tablit ainsi les rgles de contrle du mobile, que l'on peut rsumer
dans le tableau suivant :
18
Fig. 10: les fonctions d'appartenance.
vitesse
v
i
t
e
s
a
n
g
u
l
angle
Z PF PF
NG
NG
NF
NF Z
Z NG NF Z PF PG
PF
Z PF
PG
PG
NG NF
On utilisera la mthode min-max.
Prenons un cas particulier : soit comme valeur d'angle celle de la gure
11 et comme valeur de vitesse angulaire celle de la gure 12.
Fig. 11: une valeur d'angle.
Comme on le lit sur les graphes, l'angle considr est zro (Z) avec le
degr 0,8 et est positif faible (PF) avec le degr 0,2. En ce qui concerne la
vitesse angulaire, elle est zro (Z) avec un degr de 0,3 et est ngative faible
(NF) avec un degr de 0,7.
19
Fig. 12: une valeur de vitesse angulaire.
Rappelons que le degr de vrit de l'implication oue :
SI (x 2 A) ET (y 2 B ) ALORS (z 2 C )
o x est la valeur mesure de l'angle entre la barre et l'horizontale, y celle
de la vitesse angulaire de rotation de la barre, et z une une vitesse pouvant
tre applique est :
fS (z) = min(min (fA(x) fB (y)) fC (z)) On applique les quatre rgles concernes :
1. SI (angle Z) ET (vitesse angulaire Z) ALORS (vitesse Z).
L'angle est zro avec un degr de 0 8 et la vitesse angulaire est zro avec
un degr de 0 3. On dduit la fonction membre des vitesses solutions
de l'implication oue sur la gure 13 (min(0 8 0 3) = 0 3).
Fig. 13: solution de la premire rgle oue.
20
2.
SI (angle Z) ET (vitesse angulaire NF) alors (vitesse NF).
L'angle est zro avec un degr de 0 8 et la vitesse angulaire est ngative
faible avec un degr de 0 7. On dduit la fonction membre des vitesses
solutions sur la gure 14 (min(0 8 0 7) = 0 7).
Fig. 14: solution de la deuxime rgle oue.
3.
SI (angle PF) ET (vitesse angulaire NF) alors (vitesse Z).
L'angle est positif faible avec un degr de 0 2 et la vitesse angulaire
est ngative faible avec un degr de 0 7. On dduit la fonction membre
des vitesses solutions sur la gure 15 (min(0 2 0 7) = 0 2).
Fig. 15: solution de la troisime rgle oue.
21
4.
SI (angle PF) ET (vitesse angulaire Z) alors (vitesse PF).
L'angle est positif faible avec un degr de 0 2 et la vitesse angulaire est
zro avec un degr de 0 3. On dduit la fonction membre des vitesses
solutions sur la gure 16 (min(0 2 0 3) = 0 2).
Fig. 16: solution de la quatrime rgle oue.
Maintenant que l'on a dtermin les fonctions d'appartenance du sousensemble ou solution de chaque rgle, on dtermine le sous-ensemble solution du systme en agrgeant les rsultats, avec l'oprateur max (cf gure
17).
Fig. 17: la fonction d'appartenance des solutions.
On a donc obtenu le sous-ensemble ou solution : pour une vitesse donne, on sait quel degr elle satisfait les rgles de la commande. Mais pour
utiliser pratiquement ce rsultat, il faut donner une valeur numrique comme
solution : de l'exploitation de la gure 17 on dduit une valeur de vitesse devant tre donne au chariot pour qu'il puisse rattraper la rotation de la
barre. Cette tape est la dfuzzication, elle fait l'objet de la partie suivante.
22
3 La dfuzzication
Le processus de commande oue doit fournir une solution numrique pour
tre exploitable. Par exemple pour un processus de contrle, l'organe de
commande ncessite un signal d'entre prcis. Il reste donc une tape : l'interprtation du sous-ensemble ou des solutions, la dfuzzication.
Plusieurs possibilits existent, mais il semble qu'on ne puisse pas dterminer de manire systmatique la meilleure mthode de dfuzzication. Par
ailleurs, la rapidit de l'algorithme de dfuzzication est cruciale pour un
contrle en temps rel.
Dtaillons deux mthodes.
3.1 La mthode du maximum
Elle consiste choisir comme solution dfuzzie l'abscisse du maximum
de la fonction d'appartenance des solutions.
Si plusieurs points conviennent, on peut par exemple utiliser une variante,
la mthode de la moyenne des maxima, qui consiste prendre comme solution
la moyenne des abscisses des maxima.
Dans notre cas :
Fig. 18: mthode du maximum.
L'avantage de cette mthode est qu'elle ne ncessite pas une grande puissance de calcul. Cependant, elle prsente un gros inconvnient : de faibles
variations du sous-ensemble ou solution peuvent entraner des sauts importants du signal de sortie, comme l'illustre la gure 19. Ceci est particulirement gnant si le signal dfuzzi alimente un organe de contrle ncessitant
un signal rgulier.
23
Fig. 19: inconvnient de la mthode du maximum.
3.2 La mthode du centre de gravit
Cette mthode est la plus souvent utilise et donne gnralement les
meilleurs rsultats. Elle consiste prendre comme solution l'abscisse du
centre de gravit des solutions.
Pour le pendule invers :
Fig. 20: mthode du centre de gravit.
Par comparaison avec la mthode du maximum, les rsultats fournis sont
bien plus stables vis--vis de variations minimes du sous-ensemble ou solution. Mais en contrepartie, elle exige une plus grande puissance de calcul.
24
4 Une application : estimation de l'objectif d'un
missile
On prsentera dans cette partie un exemple d'algorithme ou d'aide la
prise de dcision. Le problme est d'estimer le plus tt possible la cible d'un
missile autoguid en dplacement dans la direction de plusieurs objectifs
potentiels. Cette partie repose sur les travaux de V.Boulet, E. Druon, D.
Willaeys et P. Vanheege $5].
4.1 Prsentation
On suppose que le missile a un objectif prdni qu'il cherche atteindre
par la mthode de Navigation Proportionnelle (que l'on ne dtaillera pas).
On suppose galement les vitesses des dirents objets considrs constantes
en module, et les vitesses des cibles faibles devant celle du missile. Les paramtres de la trajectoire de ce dernier sont fournis par des capteurs dont les
mesures sont entaches de bruit.
Dnissons brivement les paramtres de la Navigation Proportionnelle :
C
δC
VC
v
ΓOn
ΓOn
η
δO
VO
axe de reference
O
Fig. 21: paramtres de la Navigation Proportionnelle.
O : mobile.
C : cible considre.
O : angle entre V0 et OC.
C : angle entre VC et OC.
r : distance entre O et C .
: angle entre l'axe de rfrence et OC.
;On : acclration normale du mobile O.
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;vOn : projection de ;On sur la normale OC.
A : constante de la Navigation Proportionnelle.
Les quations cinmatiques du mobile O contrl par Navigation Proportionnelle et dirig vers C sont :
r_ = VC cos C ; V0 cos O = ;Vr (1)
r_ = ;VC sin C + V0 sin O
(2)
d
O = (1 ; A)d
C (3)
;C ; ;0 = (r ; r_ 2)u + (r + 2r__)v:
(4)
Des capteurs fournissent les valeurs de r, , ;vOn avec des priodes de
temps t.
On dnit une variable de danger pour chaque cible estimant la possibilit d'tre la cible relle du missile c'est cette variable qui sera modie
par l'algorithme ou.
4.2 Les donnes
1. Donnes gomtriques
On remarque que pour un mobile command par Navigation Proportionnelle, O converge vers 0 si la cible considre est la cible relle, et
diverge sinon.
On calcule donc pour chaque objectif potentiel la valeur de O partir
de celles de r et .
2. Donnes cinmatiques
On estime pour chaque cible possible deux intervalles rb1 rb2] et b1 b2]
dans lesquels r et devraient se trouver l'instant t + nt si la cible
considre est la cible relle du missile (n est x l'avance). Pour i = 1
ou i = 2, on estime rbi et bi en rsolvant les quations (1),(2), et (3)
pour A = i (on ne connait pas la vritable valeur de A), et on diminue
(i = 1) ou on augmente (i = 2) le rsultat pour tenir compte du bruit
sur les mesures.
Pour la vritable cible, r et auront tendance rester dans respectivement rb1 rb2] et b1 b2] alors que pour les autres cibles, r et sortiront
de ces intervalles.
3. Contrle optimal
On ne connait pas les paramtres du mouvement du missile. Mais dans
le cadre optimal pour la mthode de Navigation Proportionnelle, A
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vaut 3 : on calcule pour chaque cible m l'acclration normale ucm du
mobile si sont paramtre tait 3 et si la cible tait rellement m. On ne
dtaillera pas le calcul ici mais avec l'quation (3), on dduit :
;vOn
= A Vr 0 tf ; t A;2
tf
:
Si A > 2, ce que l'on supposera, ;vOn dcroit vers 0. En particulier, ucm
galement (car A = 3).
Pour amliorer la vitesse de convergence, on tudie l'cart l'idal :
cm = ;vOn ; ucm. Si m est la cible relle, cm tend vers 0 et sinon cm
diverge.
4.3 Fuzzication
1. Pour O et cm
On examine la fois cm et O pour acclrer l'estimation,
Pour O(t = 0) > 0, prenons pour fonctions d'appartenance les fonctions de la gure 22.
Fig. 22: fonctions d'appartenance pour O .
avec :
NG : Ngatif Grand
NF : Ngatif Faible
Z : Zro
PF : Positif Faible
PG : Positif Grand.
27
La fonction f est une fonction dcroissante ayant 0 pour limite : elle
permet d'liminer plus rapidement les cibles pour lesquelles le graphe
de O est du type de celui de la gure 23.
Fig. 23: cas particulier pour O .
Si O (t = 0) < 0, on symtrise les fonctions d'appartenance prcdentes. D'autre part, on prend le mme type de fonctions membres
pour cm.
2. Pour r et Rappelons qu'il s'agit de savoir si r et appartiennent respectivement
aux intervalles rb1 rb2] et b1 b2].
Le bruit entachant les mesures d'incertitudes, les fonctions d'appartenance ne peuvent tre trs prcises (cf gure 24).
Fig. 24: fonctions d'appartenance pour r.
On choisit comme qualicatifs pour r :
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NHIr : Ngativement Hors Intervalle
DIr : Dans l'Intervalle
PHIr : Positivement Hors Intervalle.
De la mme fa!on on dnit les fonctions d'appartenance relatives .
4.4 L'algorithme ou et la dfuzzication
Les rgles oues augmentent ou diminuent la valeur de la variable niveau de danger attribue chaque objectif potentiel. On reprsente cette
variation par les variables oues dangerm, m indiquant l'objectif considr.
On associe dangerm les sous-ensembles ous de la gure 25.
Fig. 25: fonctions d'appartenance pour dangerm .
avec :
P : Variation Positive
Z : Variation Nulle
N : Variation Ngative
TN : Variation Trs Ngative
XN : Variation Extrmement Ngative.
L'algorithme comporte deux ensembles de rgles xant dangerm partir, d'une part, de cm et O . . .
cmn
O NG NF P PF PG
NG
NF
P
PF
PG
XN XN TN TN XN
XN Z N N TN
TN N P Z TN
TN N Z Z N
XN TN TN XN XN
29
. . .et d'autre part, de r et .
rn NHI
NHIr
DIr
PHIr
XN
Z
XN
DI PHI
Z
XN
Z
Z
Z
XN
remarque: les variables r et ne sont en fait utiliss que pour accentuer le
rejet d'une cible.
Pour l'obtention des rsultats, on utilise la mthode min-max et la mthode du centre de gravit pour la dfuzzication on obtient alors une valeur
numrique pour dangerm.
La cible m aura d'autant plus de chances d'tre la cible relle que la
variable dangerm sera grande.
4.5 Conclusion
Simple mettre en &uvre, cette mthode permet nanmoins d'identier
rapidement la cible rlle.
Considrons le scnario suivant (cf gure 26) :
Fig. 26: une simulation.
cinq cibles potentielles: Ci, pour 1 6 i 6 5, disposes selon une croix
de demi-ct 3 km.
vitesse des cibles : 15 m/s selon l'axe (Ox).
vitesse du missile : 800 m/s.
missile O partant de 15 km de sa cible relle (C1).
on choisit 1 = 2 et 2 = 7 (cf les donnes cinmatiques dans 4.2).
On simule par ordinateur les mouvements en rsolvant les quations diffrentielles de la cinmatique (par une mthode type Runge-Kutta), et les
bruits de manire alatoire.
30
L'application de l'algorthme montre une reconnaissance de l'objectif rel
(c'est--dire une variable de danger signicativement plus grande pour la cible
C1 que pour les autres) ds que la distance entre le missile et C1 est de l'ordre
de 11 km, soit aprs un parcours d'approximativement 4 km seulement.
31
Conclusion
Les outils fournis par la logique oue permettent une modlisation des
phnomnes pouvant en un certain sens s'approcher du raisonnement humain. Le fait de transcender le tout ou rien des ordinateurs introduit une
souplesse faisant la puissance des outils ous dans de nombreux domaines.
Au milieu des annes 80, les applications industrielles rent ors de
manire spectaculaire, et ce essentiellement en Asie du Sud-Est, l'Europe et
l'Amrique restant assez circonspectes sur le sujet. Elles vont du contrle
d'un mtro automatique l'limination du tremblement pour les camras
vido en passant par le rglage de cycles sur une machine laver. En outre,
la exibilit des modles ous permit galement des applications dans des
domaines tels que la mdecine (aide au diagnostic), la nance (prvisions
boursires, oprations de change), la mtorologie, etc.
Mais mme s'ils bncirent d'un eet de mode, les algorithmes ous ne
sont pas ncessairement les meilleurs. D'autres mthodes (par exemple les
mthodes neuronales) peuvent les surpasser pour la rsolution de problmes
du mme type. En fait, on s'oriente vers un panachage de ces techniques, et
c'est ainsi que l'on assiste l'apparition d'algorithmes neuro-ous.
D'autre part, plus le systme est complexe, plus les rgles qui le rgissent
sont nombreuses et compliques. Il s'agit l d'un obstacle majeur au contrle
en temps rel. Des quipes au Japon s'attachent rduire la complexit des
algorithmes ous un objectif de la recherche est de parvenir au contrle d'un
hlicoptre sans pilote humain, t(che complexe s'il en est !
Citons pour nir quelques projets ous : la reconnaissance de motifs sur
des images, l'laboration de robots intelligents qui, une fois certains travaux
assimils, pourraient travailler en quipe, la mise au point de processeurs
travaillant directement sur des variables linguistiques et non plus sur des
variables boolennes . . .
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Rfrences
$1] Bernadette Bouchon-Meunier, La logique oue, PUF collection Que
sais-je ? 2702, 1994.
$2] Bernadette Bouchon-Meunier, La logique oue et ses applications, Addison Wesley France, 1995.
$3] Jean-Rapha+l Tong-Tong, La logique oue, Herms, 1995.
$4] Hansruedi B,hler, Rglage par logique oue, Presses Polytechniques et
Universitaires Romandes, 1994.
$5] V.Boulet, E.Druon, D.Willaeys et P. Vanheege, Target estimation using
fuzzy logic, in Proceedings of 1993 IEEE Systems, Man and Cybernetics
Conference.
. . .ainsi que les nombreuses pages Web sur le sujet.
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