Combinaisons (2) : Triangle de Pascal, formule du binôme

Combinaisons (2) : Triangle de Pascal, formule du binôme
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Combinaisons (2) : Triangle de Pascal, formule du binôme
I
Questions de cours
n
n
1. Propriété de récurrence :
+
= ...?
(ROC)
p
p+1
2. Triangle de Pascal : c’est un tableau de nombres. La case qui se trouve à la
ligne numéro n et à la colonne numéro p contient ...?
n
n
Par récurrence. Initialisation :
= ...? et
= ...?
0
n
Hérédité : propriété de récurrence précédente.
3. Formule du binôme de Newton : le développement de (a + b)n est
II
...?
Exemples
5
1. Soit E = {1; 2; 3; 4; 5}. Retrouver
par la méthode suivante :
3
Combien y a-t-il de parties de E à 3 éléments qui contiennent le nombre 5 ?
Combien y a-t-il de parties de E à 3 éléments qui ne contiennent pas le nombre 5 ?
Parties avec 3 éléments contenant 5 : chacune de
ces
parties contient, en plus du 5,
4
2 éléments choisis dans {1; 2; 3; 4}. Il y a donc
= 6 parties de ce type.
2
Parties avec 3 éléments ne contenant pas 5: chacune de ces parties contient 3
4
éléments choisis dans {1; 2; 3; 4}. Il y a donc
= 4 parties de ce type.
3
L’ensemble des parties de E à 3 éléments est la réunion des deux ensembles de
parties précédents (avec 5, ou sans 5). Ces deux
ensembles
sont disjoints, donc le
4
4
nombre total de parties de E à 3 éléments est
+
.
2
3
4
4
5
5×4×3
Donc
+
=
. On vérifie : 6 + 4 = 10 =
2
3
3
3×2×1
2. Développer (a + b)4 . Vérifier avec un calcul direct lorsque a = 1 et b = i
On écrit le triangle de Pascal de la ligne 0 à la ligne 4 (la colonne 0 est remplie de
1, la diagonale aussi, puis on applique la formule de récurrence des combinaisons :
1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3, 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 1 = 4)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
A l’aide des coefficients de la ligne 4, on applique la formule du binôme de Newton :
(a + b)4 = (1 × a4 b0 ) + (4 × a3 b1 ) + (6 × a2 b2 ) + (4 × a1 b3 ) + (1 × a0 b4 )
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
Pour a = 1 et b = i, le calcul direct donne
2
(1 + i)4 = (1 + i)2 = (1 + 2i + i2 )2 = (2i)2 = −4
La formule du binôme donne (1 + i)4 = 1 + 4i + 6i2 + 4i3 + i4 .
Or i2 = −1, i3 = −i et i4 = 1. Donc (1 + i)4 = 1 + 4i − 6 − 4i + 1 = −4
3. Un test vrai/faux comporte 4 questions (2 réponses seulement : vrai ou faux). Combien
y a-t-il de façons de répondre à ce test ? Deux méthodes :
a) choisir les questions où l’on répond vrai
b) choisir une réponse pour la première question, puis une pour la deuxième, etc.
Comparer les résultats, expliquer avec la formule du binôme.
a) On choisit une partie quelconque de E = {1; 2; 3; 4}. Une telle partie peut
comporter
0,1,2, 3ou4 éléments.
Donc
le nombre total de parties possibles
4
4
4
4
4
est :
+
+
+
+
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
0
1
2
3
4
b) On imagine un arbre : 2 réponses possibles pour la première question, 2 pour
la deuxième, 2 pour la troisième, 2 pour la quatrième.
Donc en tout 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 (principe de l’arbre, ou modèle des cases)
4
4
4
4
4
On obtient donc
+
+
+
+
= 24 .
0
1
2
3
4
Cela s’explique en appliquant la formule du binôme avec a = 1 et b = 1
4 4
4 3
4 2 2
4
4 4
24 = (1 + 1)4 = (a + b)4 =
a +
a b+
a b +
ab3 +
b
0
1
2
3
4
La somme des coefficients de la ligne n du triangle de Pascal est 2n