Table de caractères de S4

Table de caractères de A5
Florian B OUGUET
Référence : P EYRÉ : L’algèbre discrète de la transformée de F OURIER
Theorème 1
La table de caractères de S4 est :
χtr
χε
χstd
χ2
χ3
1
(1)
1
1
3
2
3
6
(12)
1
-1
1
0
-1
8
(123)
1
1
0
-1
0
6
(1234)
1
-1
-1
0
1
3
(12)(34)
1
1
-1
2
-1
Preuve :
I Classes de conjugaison :
Le résultat est bien connu, des éléments de S4 sont conjugués si, et seulement si, ils sont de même type.
I χtr et χstd :
Regardons la représentation naturelle de S5 sur R4 obtenue par permutation des vecteurs de base. Le caractère
associé χR4 est la trace d’une matrice de permutation, c’est-à-dire le nombre de 1 sur la diagonale. Autrement dit
χR4 (σ) est le nombre de points fixes de σ. Cette représentation laisse V ect{(1, 1, 1, 1, 1)} stable, il s’agit donc
d’une représentation de dimension 1 (la représentation triviale correspondant à χtr , on peut donc compléter la
première ligne). On a alors un caractère de dimension 3, noté χ, tel que
χ = χR4 − χtr = [3, 1, 0, −1, −1]
Le calcul nous donne
1
2
2
2
2
2
< χ, χ >=
1 × 3 + 6 × 1 + 8 × 0 + 6 × (−1) + 3 × (−1) = 1
24
χ est donc irréductible, on peut donc le noter χstd (pour "standard") et compléter la troisième ligne.
I χε :
ε est un morphisme de S4 dans {−1, 1}. On a donc une action de groupe linéaire, ou représentation, de degré 1
telle que :
σ · x = ε(σ)x
On peut donc compléter la deuxième ligne.
I χ3 :
Finissons déjà de remplir la première colonne en remarquant que
1 + 1 + 32 + a2 + b2 = 24 ⇒ a = 2, b = 3
On cherche donc deux représentations, l’une de degré 2 et l’autre de degré 3. Considérons l’action naturelle de S4
sur les quatre grandes diagonales du cube de R3 (on peut montrer que le groupe des isométries positives du cube
est isomorphe à S4 ). Cela nous livre une représentation de S4 de dimension 3 de caractère χ.
1
– χ((1)) = Tr(Id) = 3
– (12) ∼ Rotation d’angle π :
χ((12)) = 1 − 2 cos(π) = −1
– (123) ∼ Rotation d’angle 2π/3 :
χ((123)) = 1 − 2 cos(π/3) = 0
– (1234) ∼ Rotation d’angle π/2 :
χ((123)) = 1 − 2 cos(π/2) = 1
– (12)(34) ∼ Rotation d’angle π :
χ((123)) = 1 − 2 cos(π) = −1
On calcule alors < χ, χ >= 1 donc χ est irréductible, on peut donc le noter χ3 et compléter la quatrième ligne.
2
I χ2 :
On peut alors déterminer χ2 par orthogonalité des caractères, et résolvant un système de 4 équations à quatre
inconnues.
Il existe deux autre façons de compléter cette table. On peut déterminer χstd en regardant l’action de S4 comme
groupe des isométries du tétraèdre, et étudier l’action de S4 sur le groupe de K LEIN pour obtenir χ2 . . .
3