Chapitre 10: Choix Intertemporels

Chapitre 10:
Choix Intertemporels
(ECON-D-202 SOCO)
March 5, 2010
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La Contrainte de Budget Intertemporelle
Le consommateur (rationnel et optimisant) vit deux périodes, t = 1, 2.
Il doit décider combien consommer à chaque période.
Sa dotation monétaire à chaque période est égale à mt , t = 1, 2.
Choix possible de première période:
S’il consomme (en 1) moins que sa dotation de première période –s’il
épargne–, il obtient un intérêt égal à r sur son épargne.
Simpli…cation initiale: il paye le même taux d’intérêt s’il s’endette –s’il
consomme (en 1) plus que sa dotation de première période.
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Le consommateur ne peut laisser de dette à la …n de la période 2.
Il ne choisira jamais de consommer moins que ses dotations des deux
périodes ne le permettent (pourquoi?).
Sa contrainte de budget intertemporelle est donc:
c 2 = m2 + ( 1 + r ) ( m1
ou encore:
c1 +
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c1 )
m2
c2
= m1 +
1+r
1+r
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La droite de budget a une pente de
(1 + r ):
c2
(1 + r) m1 + m2
Pente: -(1 + r)
m1 + m2/(1 + r)
c1
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Le Problème du Consommateur et l ’Impatience
Si, par exemple, le consommateur admet des préférences Cobb-Douglas,
son problème est:
max c1α c21
c1 ,c2
α
s.c. c1 +
c2
m2
= m1 +
1+r
1+r
Ceci peut se réécrire ainsi:
max α ln c1 + (1
c1 ,c2
α) ln c2 s.c. c1 +
c2
m2
= m1 +
1+r
1+r
ou encore:
max ln c1 + β ln c2 s.c. c1 +
c1 ,c2
c2
m2
= m1 +
1+r
1+r
avec β = 1 α α .
β est interprété comme le degré de (im)patience du consommateur.
Plus α est proche de 1, plus notre consommateur est impatient.
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Choix Optimal:
L’équation qui caractérise le choix optimal du consommateur est:
c2
= 1+r
βc1
et s’appelle (en macro) l’équation de Euler.
Interprétation:
c2
= 1| {z
+ }r
βc1
|{z}
TMT =BM
TMS =CM
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Le Rôle du Taux Subjectif d ’Actualisation Intertemporelle
(le degré d ’impatience!)
Si nous partons du principe que β < 1, alors β peut être vu comme ceci:
1
1+δ
où δ est le taux net subjectif d’actualisation intertemporelle, le degré net d
’impatience (et β est donc le taux brut).
L’équation d’Euler peut se réécrire comme suit:
β=
c2
c
1+r
= 1 + r () 2 =
βc1
c1
1+δ
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Conséquences:
si δ < r , c2 > c1 ;
si δ > r , c1 > c2 ;
si δ = r , c1 = c2 .
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Emprunteur ou Prêteur?
Le consommateur est un emprunteur si c1 > m1 ;
il est un prêteur si c1 < m1 .
Exercise:
Si m1 = m2 = m et que δ < r (donc que c1 < c2 ), le consommateur est-il
prêteur ou emprunteur?
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Slutsky Meets Time
Supposons que, pour notre consommateur, la consommation soit un bien
normal.
Puisque notre consommateur a une dotation, l’équation de Slutsky qui
nous décrit comment c1 varie avec r (pourquoi r ??) est:
∆c1s
∆c m
∆c1
=
+ ( m1 c1 ) 1
| {z }| ∆r
∆r
∆r
|{z}
|{z}
{z }
?
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?
+
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Prêteur
Emprunteur
E¤et de substitution:
E¤et de revenu et dotation:
E¤et total:
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Qu’est-ce que L’In‡ation?
Indiquons avec p1 le prix d’une unité de consommation en première période
et avec p2 le prix d’une unité de consommation en deuxième période.
Indiquons avec 1 + π le rapport entre p1 et p2 , soit:
p2
= 1+π
p1
π est donc le taux d ’in‡ation, le taux de croissance des prix:
π=
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p2
p1
p1
=
∆p1
.
p1
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Taux d’Intérêt Réel
Ceci nous permet de dé…nir le taux d’intérêt réel ρ:
1+ρ =
1+r
1+π
Ce qui explique l’origine de la règle utilisée par beaucoup d’analistes
…nanciers:
ρ'r π
Cette règle ne fonctionne que si r et π sont très proche de 0.
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Arbitrage et Pétrole
La règle fondamentale de l’arbitrage …nancier nous dit que tous les actifs
(sans risque) doivent procurer le même rendement.
Qu’est-ce que cela implique-t-il pour la gestion des resources épuisables?
La première conséquence est que le prix de resources telles que le pétrole
doivent suivrent la loi d’évolution temporelle suivante:
pt +1 = (1 + r ) pt
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La deuxième conséquence est que, si le prix d’un bien parfaitement
substitut au pétrole est C et que ce bien sera utilisé quand il n’y aura plus
de pétrole, alors le prix du pétrole en sa dernière période d’existence doit
être tel que:
pT = C , p0 (1 + r )T = C , p0 =
C
(1 + r )T
Remarquez que les équations ci-dessus impliquent que tout changement
dans le prix d’un bien entraîne des changements dans tous les biens
parfaitement substituts...
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Arbitrage et Arbres...
Imaginez que vous êtes le propriétaire d’une pepinière en Suède ou aux
Philipines.
Votre forêt a un taux de croissance égal à
g (t ) =
G 0 (t )
G (t )
où t indique l’âge de votre plantation.
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Immaginez maintenant que g (t ) (en fonction du temps) ait la forme d’un
S: vos arbres grandissent très vite lorsqu’ils sont jeunes et, ensuite, au fur
et à mesure que les années passent, leur croissance ralentit.
Imaginez que le prix unitaire du bois reste constant et que le taux de
croissance initial est supérieur au taux d’intérêt (pourquoi??).
La valeur de votre pépinière est directement proportionnelle à sa taille.
À quel âge devez-vous coupez vos arbres?
Quand le taux de croissance est égal au taux d’intérêt!!
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Nous avons qu ’à tout moment t, la valeur de la pépinière est:
V (t ) = pG (t )
Le problème, en valeur actualisée, est donc:
max
t
pG (t )
e rt
La CPO est
pG 0 (T ) e rT
pre rT G (t ) = 0
m
r
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=
G 0 (T )
= g (t )
G (t )
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Pourquoi avons-nous
pG (t )
?
e rt
Car si nous passons d’un monde où le temps est discret à un monde où le
temps est continu, nous sommes de fait en train de laisser la durée d’une
période tendre à zéro.
Dans ce cas, nous avons que le taux d’actualisation que nous devons
appliquer est tel que
1 + r nt
= e rt
lim
n !0
n
VP (t ) =
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Micro meets Macro...
Un pays a un dé…cit commercial quand sa consommation est supérieure à
son PIB.
Historiquement, les pays ont toujours des dé…cits au début de leur
développement mais ensuite enregistrent des surplus une fois que leur
développemnent atteint un certain niveau.
Peut-on expliquer ces faits avec le modèle examiné aujourd’hui?
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Immaginons qu’un pays existe pour deux périodes et qu’il soit pauvre
aujourd’hui mais riche demain. C’est à dire, supposons que son PIB soit
tel que Y1 < Y2 .
La décision du pays est combien consommer aujourd’hui et demain.
Pour simpli…er, immaginons que le taux d’intérêt appliqué à ce pays soit
toujours r .
1
Si le pays ne peut laisser de dette à la …n de la deuxième période,
quelle est sa contrainte de budget?
2
Si les préférences du pays sont U (c1 ; c2 ) = ln c1 + β ln c2 , comment
s’écrit l’équation d’Euler?
3
Que vaut c1 si Y1 = 100, Y2 = 125, β = 0.6 et r = 0.25?
4
Ce pays est-il un prêteur ou un emprunteur?
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Conclusion:
Ce qui est ci-dessus n’est rien d’autre qu’une version simpli…ée de la
théorie intertemporelle du compte courant, théorie qui est la colonne
vertébrale des politiques du FMI...
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WAR!
Le Japon et la Suède étaient neutres lors de la première guerre mondiale...
Le graphique ci-dessous nous montre l ’évolution de leur compte courant:
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Taux d’intérêt di¤érents
Que se passe-t-il si le taux d’intérêt sur l’épargne est inférieur à celui sur
les dettes (cas réaliste)?
La contrainte de budget a un coin au point correspondant à la dotation du
consommateur.
Ceci implique aussi que, typiquement, le choix optimal du consommateur
avec un pro…l de revenu croissant choisira comme point de consommation
sa dotation et ce choix reste invariant à des modi…cation des taux.
Ceci nous permet de mettre en avant un avantage de la présence du FMI
pour les pays en voie de développement:
Sa présence rapproche les taux d’intérêt actifs et passifs et donc permet
aux pays sous sa ‘protection’de choisir un point de consommation leur
apportant une niveau d’utilité supérieure.
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