Le Comportement Des Antennes Fractales De Types «Courbe De

A. REHA
Le Comportement Des Antennes Fractales De Types «Courbe De Sierpinski»
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Le Comportement Des Antennes Fractales De
Types «Courbe De Sierpinski»
Abdelati REHA , Ouadiaa BARROU
Abdelkebir EL AMRI
RITM Laboratory, ESTC
CED Engineering Sciences
Hassan II University, Casablanca, Morocco
[email protected] , [email protected]
RITM Laboratory, ESTC
CED Engineering Sciences
Hassan II University, Casablanca, Morocco
[email protected]
Résumé — Dans cet article, le comportement d’une antenne
planaire sous forme fractal de type “courbe de SIERPINSKI” a
été étudié. Les résultats nous montrent qu’il y a une relation
entre le nombre d’itération et les fréquences de résonances. En
effet, plus le nombre d’itération augmente, plus la fréquence de
résonance diminue de même pour les gains et les bandes
passantes. Les simulations ont été faites par un solveur qui utilise
entre autres la Méthode des Moments qui reste la meilleure
méthode d’analyse pour les antennes filaires et planaires.
INTRODUCTION
Avec la multiplication et la miniaturisation des systèmes de
télécommunication
et
leur
intégration
dans
des
environnements restreins comme les Smartphones, tablettes,
voitures, avions et autres systèmes embarqués, la conception
des antennes multi-bandes et larges-bandes devient une
nécessité.
Pour ce faire, plusieurs techniques sont adoptées :
1- La conception d’antennes multi-bandes opérant dans
plusieurs bandes de fréquences en insérant des slots dans les
éléments rayonnants ou en utilisant des géométries fractales[16].
2- La conception d’antennes Ultra Large Bande (ULB ou
UWB) ayant une bande passante appartenant à l’intervalle 3.110.6GHz et dépassant 500MHz ou ayant un rapport largeur de
bande sur fréquence centrale dépassant 20 % [4],[7-9].
Dans cet article, nous allons étudier le comportement d’une
antenne fractale de type « courbe de SIERPINSKI » en se
basant initialement sur une antenne patch rectangulaire
alimentée par une onde coplanaire(CPW). Cette étude montre
que l’utilisation de cette structure fractale nous permet d’avoir
des fréquences de résonances plus basses par rapport à la
fréquence de résonance de l’antenne patch rectangulaire.
Aussi, plus le nombre d’itération augmente, plus la fréquence
de résonance diminue et plus la bande passante et les gains
diminuent. Aussi, une relation a été remarquée entre le nombre
d’itération et les fréquences de résonances. Toutes les
simulations ont été faites avec le solveur CADFEKO qui se
base, entre autres, sur la méthode des moments (MoM), l’une
des meilleures méthodes d’analyse des antennes filaires et
planaires [10-13].
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Cette structure a été inventée par le mathématicien polonais
SIERPINSKI. Il existe plusieurs variantes de cette géométrie
parmi lesquelles :
 Le triangle de SIERPINSKI : La construction de ce
triangle se fait à partir d'un triangle équilatéral plein et en
appliquant récursivement les étapes suivantes:
1- Un triangle équilatéral est construit et sera considéré
comme une base.
Mots clés— Antenne, Fractale, Courbe de Sierpinski.
I.
II. LES GEOMETRIES DE SIERPINSKI
2- On trace les trois segments joignant les milieux
respectifs des côtés du triangle et on enlève le petit triangle
central. Il reste trois petits triangles qui se touchent par leurs
sommets dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles
du triangle de départ.
3- On répète la deuxième étape avec chacun des petits
triangles obtenus.
La figure 1 illustre les 4 premières itérations de la
géométrie « Triangle de SIERPINSKI »
Fig.1 les 4 itérations du triangle de SIERPINSKI
La dimension de HAUSDORFF du triangle de SIERPINSKI
est donnée par la formule (1) [5][14][15][16]:
ln(3)
d
 1.58
(1)
ln(2)
 Le tapis de SIERPINSKI : La construction de ce tapis
se fait à partir à partir d'un carré plein et en appliquant
récursivement les étapes suivantes:
1- On découpe le carré en neuf carrés égaux avec une
grille de trois par trois,
2-
On supprime la pièce centrale,
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ISSN: 2458-6765
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3- On applique cette procédure indéfiniment aux huit
carrés restants.
La figure 2 illustre les 4 premières itérations de la
géométrie « Tapis de SIERPINSKI ».
entre l’air et un substrat et L est la longueur effective de
l’antenne en tenant en compte de l’effet de bord.
La figure 5 montre la géométrie d’une antenne patch
rectangulaire alimentée par une ligne microstrip de largeur Wf
ayant une impédance caractéristique de 50 insérée dans le
patch avec une encoche de longueur y0 pour permettre une
bonne adaptation d’impédance.
Pour avoir une impédance caractéristique Z0=50, Wf est
déterminée en se basant sur l’équation (4)
Z0 
Fig.2. les 4 itérations du tapis de SIERPINSKI
La dimension de HAUSDORFF du tapis de SIERPINSKI
est donnée par la formule (2) [5][14][15][16]:
ln(8)
d
 1.89
(2)
ln(3)
 La courbe de SIEPINSKI: La construction de cette
courbe se fait à partir à partir d'une courbe sous forme de
losange et en appliquant récursivement les étapes suivantes:
1- On fait tourner le losange d’un angle de /2 autour de
son centre,
2
120
(4)
Wf
Wf

r 
 1.393  0.667 ln
 1.44  
 h

h



Pour concevoir une antenne ayant une fréquence de résonance
de 2.5GHz, les dimensions de l’antenne seront W=36.22mm et
L=28.01, Wf=2.95mm et y0=7.5mm. La figure 6 montre la
variation du paramètre S11 simulé avec CADFEKO (MoM) en
fonction des fréquences. On remarque que la fréquence de
résonnance (fr=2.4GHz) est un peu décalée par rapport à la
fréquence donnée par la méthode des lignes de transmission
(fig.4).
2- On ajoute au résultat 4 copies du losange avec un
facteur de réduction de 2,
3- On rassemble les 5 éléments
4- Entre l’itération i et i+1, 5 copies sont générées avec un
coefficient de réduction de 2.
Fig.3. les 4 itérations de la courbe de SIERPINSKI
La dimension de HAUSDORFF de la courbe de SIERPINSKI
est donnée par l’équation (3).
ln(5)
d
 2.32
(3)
ln(2)
III. CONCEPTION DE L’ANTENNE ET RESULTATS
A- Conception d’une antenne patch rectangulaire et
Modes d’alimentation
En se basant initialement sur la méthode des lignes de
transmission, les dimensions d’une antenne patch
rectangulaire alimentée par une ligne microstrip sont données
par l’algorithme de la figure 4 [17], ou fr est la fréquence de
résonance, h est l’épaisseur du substrat, r est la permittivité
du substrat, c est la célérité de la lumière, W et L sont
respectivement la largeur et la longueur du substrat, reff est la
permittivité effective de l’antenne vu que le patch est mis
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Fig.4. Algorithme de conception d’une antenne patch
rectangulaire (Méthode des lignes de transmission)
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(a) vue de face
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B- Modification de la géométrie rectangulaire en
utilisant la courbe de SIERPINSKI
Pour diminuer la fréquence de résonance d’une antenne patch
rectangulaire, il faut donc augmenter la taille de l’antenne ou
augmenter la permittivité du substrat ( Algorithme Fig.4).
Pour réduire cette fréquence sans changer les dimensions de
l’antenne ni changer ses caractéristiques électriques, plusieurs
techniques sont introduites parmi lesquelles l’ajout des slots
ou l’utilisation des structures à géométrie fractales [3-6].
(b) vue arrière
Fig.5. Géométrie de l’antenne patch rectangulaire alimentée par
une ligne microstrip
Fig.6. S11 simulé par CADFEKO (MoM) de l’antenne patch
alimentée par une ligne microstrip
La même antenne sera alimentée par une onde coplanaire
(CPW), ce mode d’alimentation est adopté pour avoir une
bande passante plus large par rapport au premier mode étudié.
La figure 7 illustre la géométrie d’une antenne patch
rectangulaire alimentée par CPW. La figure 8 montre que le
mode d’alimentation CPW permet d’avoir une bande passante
importante et une fréquence de résonance plus grande
(fr=2.92GHz).
Fig.7. Géométrie de l’antenne patch rectangulaire alimentée par
une onde coplanaire (CPW)
L’antenne patch alimentée par CPW, précédemment conçue
ayant une fréquence de résonance de 2.92GHz avec une bande
passante de 1.03GHz (2.34-3.37GHz) (Fig.8) sera modifiée
en se basant sur les 3 itérations de la courbe de SIERPINSKI
de sorte à garder la surface de l’élément rayonnant presque
égale à la surface du patch rectangulaire comme le montre la
figure 9.
Fig.9. Structure de l’antenne modifiée (1ere itération de la courbe
de SIERPINSKI)
Trois itérations sont étudiées (Fig. 10), et le paramètre S11
simulé avec CADFEKO nous montre que plus le nombre
d’itération augmente, plus la fréquence de résonance diminue
Mais aussi plus la bande passante diminue aussi (Fig. 11). La
table 1 résume les différentes fréquences de résonances, les
bandes passantes, les gains dans les fréquences de résonance
ainsi que les gains dans les bandes passantes. On remarque
que malgré la diminution des fréquences de résonance,
l’antenne perd son comportement ultra large bande ainsi
qu’une diminution du gain. Aussi on remarque que le rapport
de fréquences de résonances entre une itération i et i+1 est
constant (Formule 5). La figure 12 et 13 illustre
respectivement les diagrammes de rayonnement en 3D et en
plans E et H des différentes antennes pour les fréquences de
résonance. On remarque que l’antenne a un diagramme de
rayonnement omnidirectionnel, stable malgré le changement
des fréquences de résonance. Aussi, on remarque qu’il y a une
diminution des gains en fréquences de résonances lorsque le
nombre d’itération augmente.
f r (iteration i 1)
2
 0.71 
f r (iteration i )
2
(5)
Fig.8. Comparaison du paramètre S11 simulé par CADFEKO
(MoM) de l’antenne patch alimentée par une ligne microstrip
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Fig.10. Les trois itérations de l’antenne patch à structure de
SIERPINSKI alimentées par CPW
(a) Patch (fr=2.92GHz)
(b) Itération 1 (fr=2.1GHz)
Fig.11. S11 simulé pour l’antenne patch et les 3 itérations de l’antenne
fractale de type « courbe de SIERPINSKI »
TABLE I.
Antenne
Fréquence
de
résonance
(GHz)
Patch
2.92
Itération 1
2.1
Itération 2
1.48
Itération 3
1.07
RÉSUMÉ DES RÉSULTATS
Bande passante
(MHz)
1030
(2.34-3.37GHz)
470
(1.87-2.34GHz)
220
(1.36-1.58GHz)
60
(1.04-1.1GHz)
(a) Patch (fr=2.92GHz)
Gain en
fréquence
de
résonance
(dB)
Gains
(Min – Max)
dB
1.8
1.6 – 4.3
1.4
1.2-1.6
1.3
1.3
1.1
0.8-1.3
(c) Itération 2 (fr=1.48GHz)
(d) Itération 3 (fr=1.07GHz)
Fig.13. Les diagrammes de rayonnement (plans E et H) de l’antenne
patch et les 3 itérations de l’antenne fractale de type « courbe de
SIERPINSKI » dans leurs fréquences de résonance
IV. CONCLUSION
Dans le présent article, le comportement d’une antenne
planaires ayant la forme fractale de type « courbe de
SIERPINSKI » a été étudié. Les résultats simulés avec
CADFEKO qui se base sur la méthode des moments montrent
qu’il y a une relation entre le nombre d’itération et la
fréquence de résonance. En effet, plus le nombre d’itération
augmente, plus la fréquence de résonance diminue avec un
rapport de 0.71. Aussi, les gains et les bandes passantes
diminuent lorsque le nombre d’itération augmente.
L’utilisation des géométries fractales est l’une des meilleures
solutions pour rendre les antennes miniaturisées, car pour les
antennes patch rectangulaires, la diminution des fréquences de
résonances, nécessite l’augmentation des tailles de l’antenne
ou l’augmentation de la permittivité des substrats alors que
pour les antennes à géométries fractales, il suffit d’augmenter
le nombre d’itération.
A la suite de cette étude, une fabrication a été faite et des
mesures pratiques sont en cours pour confirmer les résultats
trouvés.
(b) Itération 1 (fr=2.1GHz)
REFERENCES
(c) Itération 2 (fr=1.48GHz)
[1]
(d) Itération 3 (fr=1.07GHz)
Fig.12. Les diagrammes de rayonnement de l’antenne patch et les 3
itérations de l’antenne fractale de type « courbe de SIERPINSKI »
dans leurs fréquences de résonance
[2]
[3]
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ISSN: 2458-6765