1STMG2 novembre 2012. 2nd degré . Bénéfice d`une entreprise

1STMG2 novembre 2012. 2nd degré . Bénéfice d’une entreprise
Une entreprise produit des ordinateurs haut de gamme. Pour des raisons de matériel et de
personnel, l'entreprise ne fabrique jamais plus de 30 ordinateurs par jour. On suppose
qu'elle parvient toujours à vendre toute sa production.
Pour x ordinateurs fabriqués et vendus, la recette R totale et le coût C de production sont
donnés, en centaines d'euros, par les fonctions R et C définies sur [0 ; 30] par :
R(x) = 35x et C(x) = x2 + 5x + 125.
On souhaite modéliser la situation grâce au tableur, avec la feuille de calcul suivante.
1. a. Créer la colonne A, avec les quantités de 0 à 30.
b. Quelles sont les formules qui, saisies en B2 et C2, peuvent être étirées vers le bas ?
Compléter ainsi les colonnes B et C.
2. Entrer en D2 la formule =C2/A2 . Expliquer l'affichage du tableur dans cette cellule.
a. Recopier cette formule jusqu'en D32.
Que signifie l'expression « coût unitaire » ?
3. Montrer que le bénéfice B(x) en centaines d'euros en fonction de la quantité x
d'ordinateurs vendus est définie sur [0 ; 35] par l'expression : B(x) = –x2 + 30x – 125
4. a. Saisir les formules nécessaires pour faire apparaître le bénéfice dans la colonne E,
puis représenter graphiquement la fonction B sur le tableur.
(Choisir « Nuage de points lissées. »)
b. D'après le graphique, pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice
maximal ?
Quel est ce bénéfice ?
5.a.Rappel . Pour une fonction du 2nd degré du type ࢌሺ࢞ሻ = ࢇ࢞૛ + ࢈࢞ + ࢉ, l’abscisse du
࢈
sommet de la parabole représentant la fonction est ࢞ࡿ = − .
૛ࢇ
Son ordonnée ࢟ࡿ est l’image de ࢞ࡿ par la fonction ࢌ soit ࢟ࡿ = ࢌሺ࢞ࡿ ሻ
Calculer les coordonnées du sommet S de la représentation graphique de la fonction B.
Retrouver alors par le calcul la réponse trouvée au 4.b.
6. Que penser de l'affirmation suivante : « Pour que le bénéfice soit maximal, il suffit que
le coût unitaire soit le plus bas possible. » ?