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4P Module 3A
Place de jeu
LM p. 128 – LE p. 60-63
En un clin d'œil
Objectif, intention pédagogique 
Reconnaître des problèmes additifs et soustractifs.
Identifier et employer une méthode efficace de résolution.
Liens principaux PER

MSN 23
Priorité

faible
Gestion
Planification dans l'année


Activité individuelle
Dès février
Verticalité

1P Module 3 Le cortège LM p. 177
2P Module 3 Fête foraine LM p. 191
3P Module 3A Au manoir LM p. 123, Balises p. 74
1 2 3 6
forte
Information mathématique
Cette activité fait appel à la typologie des problèmes additifs – soustractifs développée par Gérard Vergnaud.
Elle s'adresse à l'enseignant afin qu'il puisse proposer des problèmes de difficulté progressive aux élèves.
Selon Vergnaud, tous les problèmes qui ont la caractéristique commune d'être résolubles par l'équation :
a+b=c
où un des nombres a, b ou c est l'inconnue,
peuvent être classés selon quatre catégories en fonction de la forme de l'énoncé qui induit un niveau de
difficulté différent.
Voici les quatre catégories de problèmes selon Vergnaud :

Catégorie 1 :
Problèmes de composition d'états (EEE)
Deux états se composent pour donner un nouvel état (EEE). Dans ce cas, un ensemble d'objets est
réparti en plusieurs collections. Des informations permettent de trouver l'état d'une collection par rapport
aux autres. Ce type de problème est statique, car il n'y a pas de transformation externe.
Par exemple :
Dans une classe il y a 20 élèves. 12 sont des garçons, combien y a t il de filles ?
Schématiquement, on peut se représenter cette situation par des ensembles. Le Rouge représente les
élèves de la classe, le Jaune représente les garçons et le Bleu les filles. Remarquons que les
ensembles Jaune et Bleu forment une partition de Rouge. Chaque état est désigné ici par une couleur.

Catégorie 2 :
Problèmes de transformation d'états (ETE)
Une transformation opère sur un état pour donner un autre état (ETE).
Par exemple :
Jean a 11 billes. Il en gagne 5. Combien en a-t-il maintenant ?
Schématiquement, on peut se représenter cette situation par des ensembles. Le Jaune, qui est l'état
initial et le Bleu, qui est l'état final, issu d'une transformation positive ou négative, notée T+-.
T+- est une action externe qui va modifier l'état Jaune pour parvenir à l'état Bleu.
T+-

Catégorie 3 :
Problèmes de comparaison d'états (ECE)
Une relation de comparaison relie deux états (ECE).
Il n'y a donc pas de transformation externe des états.
Exemples :
1)
Paul a 15 billes, il en a 5 de plus que Pierre. Combien Pierre a-t-il de billes ?
2)
Pierre a 7 billes, Paul en a 11. Combien Pierre devrait-il gagner de billes pour
en avoir autant que Paul ?
Dans ces deux exemples de situations on compare des informations sur Jaune et Bleu. Dans le premier
exemple, la situation est statique alors que dans le second exemple la situation est hypothétique.
C+-

Catégorie 4 :
Problèmes de composition de transformations (TTT)
Deux transformations se composent pour donner une nouvelle transformation (TTT).
Dans cette situation on ne donne pas automatiquement des informations sur Jaune, Rose ou Bleu.
On demande de trouver l'une des trois transformations connaissant les deux autres.
Par exemple :
Paul a gagné 15 billes, puis en a perdu 5.
Combien Paul a-t-il de billes maintenant ?
T2+-
T1+-
T composée +-
Utilisation de cette typologie
On peut observer l'utilisation de cette typologie dans la progression verticale des activités des degrés 1P à 4P.
Le tableau ci-dessous résume cette progression :
Degré – Activité
1P
Le cortège
Typologie
EEE
2P
Fête foraine
4P
Place de jeu
Opérations positives
ou négatives
Opérations positives
ou négatives
EEE
ETE
3P
Au manoir
Utilisation de T+-
ETE
Utilisation de T+-
ECE
TTT
…… La connaissance n'est pas mobilisable
…… La connaissance est mobilisable
Solutions : Place de jeu, LE p. 60-63
Dans certains énoncés il y a des informations inutiles que l'enfant devra écarter.
L'inconnue est signalée en rouge.
Problème 1
(E T- E)
x – 47
= 123
x = 170
Problème 2
(E C- E)
x – 305 = 208
x = 513
Problème 3
(E T+ E)
138 + 34 = x
x = 172
Problème 4
(E C+ E)
89 + x
= 126
x = 37
Problème 5
(E T+ E)
x + 85
= 121
x = 36
Problème 6
(E C- E)
306 - x
= 149
x = 157
Problème 7
(E T- E)
391 - 162 = x
x = 229
Problème 8
(E C+ E)
53 + 87 = x
x = 140
Problème 9
(T- T+ T- )
-106 +38 = x
x = -68 (donc 68 places vides)
Problème 10
(E T- E)
228 –x
x = 69
Problème 11
(E C- E)
327 –188 = x
x = 139
(E E E)
327 –76 – 94 = x
x = 157
Problème 12
(T+ T- T+ )
x –12
=7
x = 19
Problème 13
(T+ T- T- )
24 – x
= -18
x = 42 (Il en a perdu 42)
Problème 14
(E E E)
327-83-59-94-30 = x
x = 327-266 = 61
Problème 15
(T+ T- T- )
-28 – x = -42
x = 14 (Il a perdu 14 billes)
Problème 16
(T- T+ T+)
-37 + 59 = x
x = 22 (Elle en a gagné 22)
= 159
Remarque
Nous reproduisons cette page du LM corrigée, car certaines éditions comportent des erreurs.
Type des problèmes du LE

Problèmes de composition d'états: deux mesures se
composent pour donner une mesure (EEE).
P11: recherche d'une partie: EEE
P14: recherche d'une partie: EEE

Problèmes de transformation d'états: une
transformation opère sur une mesure pour donner
une mesure (ETE).
P1: recherche de l'état initial, la transformation étant
négative: ET-E
P3: recherche de l'état final, la t transformation étant
positive: ET+E
P5: recherche de l'état initial, la transformation étant
positive: ET+E
P7: recherche de l'état final, la transformation étant
négative: ET-E
P10: recherche de la transformation négative: ET-E

Problèmes de comparaison d'états: une relation
relie deux mesures (ECE).
P2: recherche d'un état, la comparaison étant négative:
EC-E
P4: recherche de la comparaison: ECE
P6: recherche de la comparaison: ECE
P8: recherche d'un état, la comparaison étant positive:
EC+E

Problème de transformation d'états: deux
transformations se composent pour donner une
transformation (TTT).
P12: recherche de la première transformation
élémentaire positive, la deuxième étant négative et
la transformation composée positive: (T+T-T+).
P13: recherche de la deuxième transformation
élémentaire négative, la première étant positive et
la transformation composée négative: (T+T-T-).
P15: recherche de la deuxième transformation
élémentaire négative, la première étant négative et
la transformation composée négative: (T-T-T-).
P16: recherche de la transformation composée positive,
la première transformation élémentaire étant
négative et la deuxième positive: (T-T+T+).
P9: recherche de la transformation composée négative,
la première transformation élémentaire étant
négative et la deuxième positive: (T-T+T-).