TS spécialité - Divisibilité, Primalité et Congruences dans Z

3ème séance
LA SUITE DES NOMBRES PREMIERS
III) PRIMALITÉ
Propriété. Il existe une infinité de nombres premiers .
NOMBRES PREMIERS
On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers p1 , p 2 , … , pn .
Définition. Un entier p est premier s’il admet exactement deux diviseurs .
Exemples. 0 et 1 ne sont pas premiers . 2 est le seul nombre premier pair .
On considère le nombre a = 1 + p1 p2 ... pn . Cet entier est supérieur ou égal à 2,
il admet donc au moins un diviseur premier p de l’ensemble { p1 ; p2 ;...; pn } .
TEST DE PRIMALITÉ
Cet entier p divise a et divise p1 p2 ... pn , donc il divise a − p1 p2 ... pn = 1 .
Contradiction . Il existe donc une infinité de nombres premiers .
Lemme. Tout entier non premier admet au moins un diviseur premier, à savoir son
plus petit diviseur autre que 1 .
DÉCOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
Si n ≥ 2 n’est pas premier, l’ensemble de ses diviseurs strictement supérieurs à
1 contient au moins un élément, à savoir n . Désignons par p le plus petits de
ces diviseurs . On suppose que p n’est pas premier . Alors p admet un diviseur
d tel que 1 < d < p . Puisque d divise p et p divise n, on a d divise n ce qui
est impossible car p est le plus petit diviseur de n strictement supérieur à 1
Propriété. Si un entier, noté n , n’est divisible par aucun entier compris entre 2 et
la racine carrée
n de n , alors n est premier .
Si n n’est pas premier, le lemme permet d’affirmer qu’il admet un diviseur
premier p qui est son plus petit diviseur ( autre que 1 ) : n = pq avec 1 < p ≤ q
2
2
Alors p ≤ pq c’est-à-dire p ≤ n et 2 ≤ p ≤
Propriété. Tout entier est premier ou un produit de nombres premiers .
α
α
α
Notation. En pratique, un entier s’écrit p1 1 × p2 2 × ...× pr r avec p1 , p 2 , … , p r
des nombres premiers et α 1 , α 2 , … , α r des entiers non nuls .
Exemple. 72 = 2 3 × 32
Propriété. La décomposition en produits de facteurs premiers de tout entier est ,
à l’ordre près des facteurs, unique .
Propriété. L’entier a divise l’entier b si et seulement si tout facteur figurant dans la
décomposition de a apparaît dans celle de b avec un exposant supérieur ou égal .
n . Cela implique donc que n
est divisible par au moins un nombre premier p tel que 2 ≤ p ≤
n .
D’où le résultat par contraposition .
EXERCICE → déterminer si un nombre premier
Existe-t-il des valeurs de n, entier naturel non nul, telles que a = n × n + 3n + 2
soit un entier naturel premier ?
Les nombres suivants sont-ils premiers : 251 ? 341 ? 1023 ?
Les nombres premiers inférieurs à 251 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13 . 251 n’est divisible
par aucun d’eux donc 251 est un nombre premier . Par ailleurs 341 ( multiple de
11 ) et 1023 ( multiple de 3 ) ne sont pas premiers .
a = ( n + 1)( n + 2 ) ( car a est un trinôme qui s’annule pour n = −1 et n = −2 )
Si n ≥1, on a n + 1 ≥ 2 et n + 2 ≥ 3 . Dans ce cas a n’est pas premier .
EXERCICE → déterminer tous les diviseurs d’un entier
EXERCICE 115.
Combien de diviseurs le nombre 1050 possède-t-il dans Գ ? dans Ժ ?
La somme S en question est de la forme ( pour un certain k dans
( 2 k + 1) + ( 2 k + 3 ) + ( 2 k + 5 ) + ( 2 k + 7 ) + ( 2 k + 9 ) = 5 ( 2 k + 5 )
Puisque 1050 = 2 × 3 × 5 2 × 7 , les diviseurs naturels de 1050 sont tous les entiers
naturels de la forme 2 a × 3b × 5 c × 7 d avec a ∈ {0 ;1} , b ∈ {0 ;1} , c ∈ {0 ;1 ; 2}
et d ∈ {0 ;1} . Au total, cela fait 2 × 2 × 3 × 2 = 24 diviseurs dans Գ ( cf. arbre )
)
Elle ne peut être un nombre premier car ( 2 k + 5 ) ≥ 5 .
Plus
généralement
S ' = ( 2 k + 1) + ( 2 k + 3 ) + ... + ( 2 k + 2 n − 1) = n ( 2 k + n )
n’est pas un nombre premier car n ≥ 2 et 2k + n ≥ 2 .
EXERCICE 121.
L’entier n = 2 a 3b possède dans
exactement ( a + 1)( b + 1) diviseurs .
On a 12 n = 2 a + 2 3b +1 donc le nombre de diviseurs de 12n est ( a + 3 )( b + 2 ) .
La condition « n est tel que 12n a deux fois plus de diviseurs que n » se traduit
( a + 3 )( b + 2 ) = 2 ( a + 1)( b + 1)
possibles sont ( 5 ;1) , ( 3; 2 ) et ( 2; 4 )
par
soit b ( a − 1) = 4 .
Les couples ( a ; b )
. D’où n ∈ {32 ; 72 ; 324} .
EXERCICE 124.
Un arbre permet de dénombrer toutes les possibilités . Les diviseurs naturels de N
β
β
β
sont les entiers de la forme p1 1 × p2 2 × ...× pr r où, pour tout i, β i ∈ {0 ;1;...; α i } .
Au total, on obtient (α 1 + 1)(α 2 + 1) ... (α r + 1) diviseurs .
Si un entier N admet un nombre impair de diviseurs positifs, tous les (α i + 1) sont
Puisque les diviseurs ( dans Գ ) de 1050 s’écrivent ± d où d est un diviseur
naturel de 1050, on peut affirmer que 1050 possède 48 diviseurs ( dans Ժ ) .
impairs et donc tous les entiers αi sont pairs . Ainsi, N est un carré parfait .