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1ière ES spé. Lundi 31 mai The last one… Calculatrice interdite. Exercice 1 : ( points) 3 2 1 1 –7 11 0 2 3 Soit A = et B = –1 12 –19 3 3 5 0 –3 5 1. Vérifier que B est l’inverse de A. 2. En déduire les coordonnées du point d’intersection des plans : P1 : 3x + 2y + z = 0 ; P2 : 5x + 5y + 8z – 11 = 0 et P3 : 3x + 3y + 5z – 5 = 0 Exercice 2 : ( points) 2 0 1 0 0 –1 Soit A = –2 1 ; D = 0 2 et P = 1 2 1. Calculer la matrice P-1 en explicitant toutes les étapes du calcul. 2 1 (En cas d’échecs, on admettra que P-1 = –1 0 ) 2. Vérifier que A = P × D × P-1. 3. Calculer D2, D3 et D4. 4. Conjecturer une écriture de la matrice Dn . 5. Expliquer pourquoi : A2 = P × D2 × P-1 ; A3 = P × D3 × P-1 et A4 = P × D4 × P-1. 6. En déduire alors A4. Exercice 3 : ( points) Une entreprise de menuiserie fabrique 150 chaises par jours. Elle produit deux types de chaises, les une vendues 30 € pièce, les autres 60 € pièce. La production d’une journée a été totalement vendue et le montant des ventes s’élève à 7 260 €. On note x le nombre de chaises à 30 € et y le nombre de chaises à 60 € vendues dans la journée. 1 1 x 150 1. Montrer que : 30 60 × y = 7260 2. En déduire le nombre de chaises à 30 € et le nombre de chaises à 60 € qui ont été vendues. CORRIGE Exercice 1 : 1. A × B = B × A = I3, on en déduit que B = A-1. 3x + 2y + z = 0 3 2 1 x 0 x 1 –7 11 0 –22 5x + 5y + 8z = 11 0 2 3 y 11 ⇔ × = ⇔ y = –1 12 –19 × 11 = 36 2. 3x + 3y + 5z = 5 3 3 5 z 5 z 0 –3 5 5 12 Soit M(-22 ; 36 ; 12) le point d’intersection de P1, P2, P3. Exercice 2 : a b a b 0 –1 1 0 b -a + 2b 1 0 1. P-1 = c d et P-1 × P = I2 ⇔ c d × 1 2 = 0 1 ⇔ d -c + 2d = 0 1 b=1 a=2 -a + 2b = 0 b=1 2 1 d’où d = 0 ⇔ c = -1 et donc P-1 = –1 0 -c + 2d = 1 d=0 0 –1 1 0 2 1 0 -2 2 1 2 0 2. P × D × P-1 = 1 2 × 0 2 × –1 0 = 1 4 × –1 0 = –2 1 = A. 1 0 1 0 1 0 3. D2 = 0 2 × 0 2 = 0 4 1 0 1 0 1 0 D3 = 0 4 × 0 2 = 0 8 1 0 1 0 1 0 D4 = 0 8 × 0 2 = 0 16 1 0 4. On conjecture : An = 0 2n 5. A² = A × A = (P × D × P-1) × (P × D × P-1) = P × D × P-1 × P × D × P-1 = P × D² × P-1 A3 = A² × A = (P × D² × P-1) × (P × D × P-1) = P × D3 × P-1 De même A4 = P × D4 × P-1 0 –1 1 0 2 1 0 –16 2 1 16 0 6. A4 = 1 2 × 0 16 × –1 0 = 1 32 × –1 0 = -30 1 Exercice 3 : 1. Nombre de chaises : x + y = 150 Prix de vente : 30x + 60y = 7260 ⇒ x + y 150 = 30x + 60y 7260 1 1 x 150 Soit : 30 60 × y = 7260 2. A × X = B ⇒ X = A-1 × B -1 2 30 150 58 x D’où y = 1 × 7260 = 92 – 1 30 58 chaises à 30 € et 92 chaises à 60€ ont donc été vendues.