Sujet de mathématiques du brevet des collèges 2014 corrigé

Sujet de mathématiques du brevet des collèges
M ÉTROPOLE - A NTILLES - G UYANE
Septembre 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Exercice 1
4 points
Cédric s’entraîne pour l’épreuve de vélo d’un triathlon.
La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes.
Distance (km)
40
30
20
10
Durée (min)
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Pour les trois premières questions, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune justification n’est
attendue sur la copie.
1. Quelle distance Cédric a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?
2. Combien de temps a mis Cédric pour faire les 30 premiers kilomètres ?
3. Le circuit de Cédric comprend une montée, une descente et deux portions plates. Reconstituer dans l’ordre le trajet
parcouru par Cédric.
4. Calculer la vitesse moyenne de Cédric (exprimée en km/h) sur la première des quatre parties du trajet.
Exercice 2
5 points
Dans cet exercice, les figures codées ne sont pas en vraie grandeur.
Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.
Affirmation 1 :
Le volume de ce solide est 56 cm3 .
2 cm
m
7c
4 cm
O
Dans ce dessin, les points sont placés sur les
sommets d’un quadrillage à maille carrée.
Affirmation 2 : Les droites (ML) et (NO) sont
parallèles.
M
N
L
K
√
Affirmation 3 : La diagonale d’un carré d’aire 36 cm2 a pour longueur 6 2 cm.
Affirmation 4 : 0 a un seul antécédent par la fonction qui à tout nombre x associe 3x + 5.
Exercice 3
3 points
Dans une classe de collège, après la visite médicale, on a dressé le tableau suivant :
Porte des lunettes
3
7
Fille
Garçon
Ne porte pas de lunettes
15
5
Les fiches individuelles de renseignements tombent par terre et s’éparpillent.
1. Si l’infirmière en ramasse une au hasard, quelle est la probabilité que cette fiche soit :
(a) celle d’une fille qui porte des lunettes ?
(b) celle d’un garçon ?
2. Les élèves qui portent des lunettes dans cette classe représentent 12,5 % de ceux qui en portent dans tout le collège.
Combien y a-t-il d’élèves qui portent des lunettes dans le collège ?
Exercice 4
5 points
F
Immeuble
P
M
L
C
On s’intéresse à la zone au sol qui est éclairée la nuit par deux sources de lumière : le lampadaire de la rue et le spot fixé en
F sur la façade de l’immeuble.
F
H
On réalise le croquis ci-contre qui n’est pas à l’échelle, pour
modéliser la situation :
On dispose des données suivantes :
PC = 5,5 m ; CF = 5 m ; HP = 4 m ;
d = 40 ˚
[ = 33 ˚ ; PHL
MFC
P
M
L
C
1. Justifier que l’arrondi au décimètre de la longueur PL est égal à 3,4 m.
2. Calculer la longueur LM correspondant à la zone éclairée par les deux sources de lumière. On arrondira la réponse
au décimètre.
3. On effectue des réglages du spot situé en F afin que M et L soient confondus.
[ On arrondira la réponse au degré.
Déterminer la mesure de l’angle CFM.
Exercice 5
6 points
Léa pense qu’en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c’est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu
est toujours un multiple de 4.
1. Étude d’un exemple :
5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.
(a) Calculer 5 × 7 + 1.
(b) Léa a-t-elle raison pour cet exemple ?
2. Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a réalisé dans une feuille de calcul.
A
B
Nombre impair
C
Nombre impair suivant
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2x + 1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
2x + 3
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
Produit de ces nombres
impairs consécutifs
(2x + 1)(2x + 3)
3
15
35
63
99
143
195
255
323
399
E
Résultat obtenu
(2x + 1)(2x + 3) + 1
4
16
36
64
100
144
196
256
324
400
(a) D’après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17 ?
(b) Montrer que cet entier est un multiple de 4.
(c) Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3.
Lesquelles ? Aucune justification n’est attendue.
Formule 1 : =(2*A3+1)*(2*A3+3)
Formule 2 : = (2*B3 + 1)*(2*C3 + 3)
Formule 3 : = B3*C3
Formule 4 : = (2*D3+1)*(2*D3+3)
3. Étude algébrique :
(a) Développer et réduire l’expression (2x + 1)(2x + 3) + 1.
(b) Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
Exercice 6
5 points
Julien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous. croix du bûcheron
A
croix du bûcheron
D
œil de l’obervateur
O
F
E
C
B
Il place la croix de sorte que 0, D et A d’une part et 0, E et B d’autre part soient alignés.
Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement.
Il mesure au sol BC = 7,7 m.
1. Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d’agrandissement est 22.
2. Calculer la hauteur de l’arbre en mètres.
3. Certaines croix du bûcheron sont telles que DE = OF. Quel avantage apporte ce type de croix ?
4. Julien enroule une corde autour du tronc de l’arbre à 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonférence de 138 cm.
Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ? Donner un arrondi au centimètre près.
Exercice 7
8 points
Pour préparer un séjour d’une semaine à Naples, un couple habitant Nantes a constaté que le tarif des billets d’avion allerretour Nantes-Naples était beaucoup plus élevé que celui des billets Paris-Naples. Il étudie donc quel serait le coût d’un
trajet aller-retour Nantes-Paris pour savoir s’il doit effectuer son voyage en avion à partir de Nantes ou à partir de Paris.
Voici les informations que ce couple a relevées :
Information 1 : Prix et horaires des billets d’avion.
Vol aller-retour au départ de Nantes
Départ de Nantes le 23/11/2014 : 06 h 35
Arrivée à Naples le 23/11/2014 :
09 h 50
Vol aller-retour au départ de Paris
Départ de Paris le 23/11/2014 :
11 h 55
Arrivée à Naples le 23/11/2014 : 14 h 10
Départ de Naples le 30/1112014 :
Arrivée à Nantes le 30/1112014 :
Départ de Naples le 30/11/2014 :
Arrivée à Paris le 30/11/2014 :
12 h 50
16 h 25
Prix par personne du vol aller-retour : 530 e
13 h 10
15 h 30
Prix par personne du vol aller-retour : 350 e
Les passagers doivent être présents 2 heures avant le décollage pour procéder à l’embarquement.
Information 2 : Prix et horaires des trains pour un passager
Trajet Nantes - Paris (Aéroport)
Départ
Prix
Durée
Voyagez avec
Trajet Paris (Aéroport) - Nantes
23 novembre
06 h22
51,00 e
03 h 16 direct
TGV
Information 3 : Trajet en voiture
Consommation moyenne : 6 litres aux 100 km
Péage Nantes-Paris : 35,90 e
Distance domicile-aéroport de Paris : 409 km
Carburant : 1,30 e par litre
Temps estimé : 4 h 24 min
Départ
Prix
Durée
Voyagez avec
30 novembre
18 h 20
42,00 e
03 h 19 direct
TGV
Information 4 : Parking de l’aéroport de Paris
Tarif : 58 e pour une semaine
1. Expliquer pourquoi la différence entre les prix des 2 billets d’avion s’élève à 360 e pour ce couple.
2. Si le couple prend la voiture pour aller à l’aéroport de Paris :
(a) Déterminer l’heure avant laquelle il doit partir de Nantes.
(b) Montrer que le coût du carburant pour cet aller est de 31,90 e.
3. Quelle est l’organisation de voyage la plus économique ?
Correction
M ÉTROPOLE - Septembre 2014
1.b La probabilité que ce soit un garçons est :
12 2
= = 0, 4
30 5
2. Il y a 10 élèves qui portent des lunettes dans cette classe ce qui représentent 12, 5% du collège.
Donc comme 100 × (10 ÷ 12, 5) = 80
Il y a 80 élèves dans ce collège.
Exercice 1
1. Au bout de 20 minutes il a parcouru 10 km
2. Il met 50 min pour faire les 30 premiers kilomètres
3. Vu l’allure de la courbe, il commence par une portion plate, puis il y a une descente, à nouveau une portion plate et enfin
une montée.
4. Sur la première partie il parcoure 10 km en 20 min.
Comme 20 min × 3 = 60 min = 1 h.
Sa vitesse moyenne sur la première portion du trajet est 30 km h−1
Exercice 4
1. Dans le triangle PHL rectangle en P.
PL
PH
PL
Donc tan 40o =
d’où PL = 4 m × tan 40o ≈ 3, 4 m
4m
d =
On a tan PHL
2. On recommence l’étape précédente dans MCF.
Dans le triangle MCF rectangle en C.
[ = CM
On a tan MFC
CF
CM
Donc tan 33o =
d’où CM = 5 m × tan 33o ≈ 3, 2 m
5m
Exercice 2
PL ≈ 3, 4 m donc LC ≈ 5, 5 m − 3, 4 m ≈ 2, 1 m
Affirmation 1. Ce solide est un prisme droit à base triangulaire, un triangle rectangle.
4 cm × 2 cm
L’aire de la base est donc :
= 4 cm2 .
2
La hauteur mesure 7 cm.
Le volume est donc 4 cm2 × 7 cm = 28 cm3
Comme CM ≈ 3, 2 m on a LM ≈ 3, 2 m − 2, 1 m ≈ 1, 1 m
L’affirmation 1 est donc fausse.
KL
KM
et
Affirmation 2. Prenons comme unité le carreau. Comparons
KO
KN
KM 1
KL
2
= et
=
KO
4 KN
7
KM
KL
1 2
6=
Comme = on constate que
4 8
KO
KN
D’après la contraposée du théorème de Thalès
les droites (ML) et (NO) ne sont pas parallèles.
L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3. Un carré dont l’aire est de 36 cm2 a un côté de 6 cm
Il faut donc calculer la mesure de la diagonale d’un carré de 6 cm de côté.
D’après
théorème de √
Pythagore, le carré de la diagonale est 62 + 62 = 36 + 36 = 72
√ le √
Or 72 = 2 × 36 = 6 2
L’affirmation 3 est donc vraie.
Affirmation 4. Chercher l’antécédent de 0 par la fonction x :→ 3x + 5 revient à résoudre 3x + 5 = 0
5
Cette équation se résoud ainsi : 3X = −5 puis x = −
3
Il y a un seul antécédent, l’affirmation 4 est vraie.
Exercice 3
1.a 3 + 15 + 7 + 5 = 30. Il y a 30 fiches.
On considère que nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.
1
3
=
= 0, 1
La probabilité que ce soit une fille à lunette est :
30 10
3. On se place dans le triangle FLC rectangle en C.
CL
2, 1
=
= 0, 42
CF
5
[ ≈ 22
On obtient CFM
[=
tan CFM
Exercice 5
1.a 5 × 7 + 1 = 35 + 1 = 36
1.b 36 = 9 × 4 donc 36 est un multiple de 4. Léa a raison !
2.a En prenant 17 comme nombre de départ on trouve 324
2.b 324 = 4 × 81 324 est donc un multiple de 4
2.c Il s’agit de la Formule 2 : = (2 ∗ A3 + 1) ∗ (2 ∗ A3 + 3)
3.a (2x + 1)(2x + 3) + 1 = 4x2 + 6x + 2x + 3 + 1 = 4x2 + 8x + 4
3.b Dans l’expression 4x2 + 8x + 4 on peut factoriser 4.
4x2 + 8x + 4 = 4(x2 + 2x + 1)
On obtient donc toujours un multiple de 4
Exercice 6
1. Comme le triangle OAB est un agrandissement du triangle ODE
7, 7 m 770 m
BC
=
=
= 22
OF
35 cm 35 cm
calculons
Le coefficient d’agrandissement est bien 22
2. DE est une réduction de la hauteur de l’arbre.
Donc l’arbre mesure 22 × 20 cm = 440 cm = 4, 4 m
3. Dans le cas où DE = OF la distance horizontale correspond à la hauteur de l’arbre.
Il suffit de mesurer la distance horizontale pour trouver la hauteur de l’arbre.
4. Il faut faire l’hypothèse que la corde forme un cercle parfait à cette hauteur là.
138 cm
≈ 44 cm
On sait que πD = 138 cm donc D =
π
Exercice 7
1. Au départ de Nantes, deux billets reviennent 2 × 530e= 1 060e.
Au départ de Paris, deux billets reviennet à 2 × 350e= 700e.
1 060e−700e= 360e
Il y a bien une différence de 360eentre les deux possibilités.
2.a Il faut 4 h 24 min pour aller de Nantes à Paris.
L’avion décolle de Paris à 11 h 55 min et il faut être présent 2 h avant c’est à dire à 9 h 55 min
9 h 55 min − 4 h 24 min = 5 h 31 min
Il faut partir avant 5 h 31 min
2.b
La voiture consomme 6 L au 100 km et il y a 409 km à parcourir.
409 ÷ 100 = 4, 09 et 6 L × 4, 09 = 24, 54 L.
Il vont consommer 24, 54 L pour se trajet.
Un litre de carburant coûte 1, 30e. Comme 1, 30e×24, 54 ≈ 31, 90e.
Le coût du trajet est d’environ 31, 90e.
3. En voiture :
Il faut compter le coût du trajet aller-retour soit 31, 90e×2 = 63, 80e.
IL faut ajouter le péage aller-retour soit 35, 90e×2 = 71, 80e.
Et enfin le parking pour une semaine soit 58e.
L’usage de la voiture va donc coûter : 63, 80e+71, 80e+58e= 193, 60e.
En train :
Il faut compter 51e×2 = 102eà l’aller et 42e×2 = 84eau retour.
L’usage du train va donc coûter : 102e+84e= 186e.
Il y avait 360ed’écart entre les deux solutions d’avions.
La solution la plus économique est donc le train pour prendre l’avion à Paris.