CHAPITRE I Calcul sur les Nombres Relatifs

CHAPITRE I
Calcul sur les Nombres Relatifs
Objectifs du Chapitre
1 Traduire du français en expression et vice-versa
2 Gérer les priorités d’un calcul
3 Additionner ou soustraire des nombres relatifs
4 Multiplier ou diviser des nombres relatifs
5 Comparer des nombres (relatifs)
6 Calculer la valeur d’une expression littérale
Fiche 3 p 256
Fiche 1,2 p 256
Fiche 11 p 260
Méthode 3 p 13
I. Rappels de 5ème
1. Définitions
a) Définition d'un nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe, qui peut être « + » ou « - ».
Lorsqu'un nombre relatif est de signe « + », on dit qu'il est positif.
Lorsqu'un nombre relatif est de signe « - », on dit qu'il est négatif.
Le nombre 0 est à la fois positif et négatif.
•
•
•
b) Distance à zéro d'un nombre relatif
On appelle distance à zéro d'un nombre relatif le nombre sans son signe.
(on parle aussi de valeur absolue d’un nombre relatif).
c) Opposé d'un nombre relatif
On appelle opposé d'un nombre relatif sa distance à zéro munie du signe différent.
2. Addition et Soustraction de nombres relatifs
a) Addition
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•
•
La somme de deux nombres relatifs est un nombre relatif.
Si les deux termes sont de signes identiques, alors :
- Le signe de la somme est le même que celui des termes
- La distance à zéro de la somme est la somme des distances à zéro
Si les deux termes sont de signes opposés, alors :
- Le signe de la somme est celui du terme qui a la plus grande distance à zéro
- La distance à zéro de la somme est la différence de la plus grande des distances à zéro par
la plus petite.
b) Soustraction
Soustraire deux nombres relatifs revient à additionner le premier avec l’opposé du second.
3. Comparaison de deux nombres relatifs
On peut toujours comparer deux nombres relatifs distincts :
• S’ils sont de même signe :
- Positifs : le plus grand des deux est celui qui a la plus grande distance à zéro.
- Négatifs : le plus grand des deux est celui qui a la plus petite distance à zéro.
• S’ils sont de signes différents, alors le plus grand des deux est le nombre positif.
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II. Multiplication
1. Multiplication de deux nombres relatifs
a) Définition
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•
•
Le produit de deux nombres relatifs est un nombre relatif.
Le signe du produit est :
« + » lorsque les signes des facteurs sont identiques.
« - » lorsque les signes des facteurs sont opposés.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro.
Remarques
• Le produit d'un nombre relatif par 0 est toujours 0.
• Il peut être pratique de se souvenir de la règle des signes en apprenant ...
... ce tableau :
... cette comptine :
X
+
-
+
+
-
-
-
+
« plus par plus égale plus »
« moins par moins égale plus »
« plus par moins égale moins »
« moins par plus égale moins »
b) Carré d'un nombre relatif
Le carré d'un nombre relatif est le produit de ce nombre par lui-même.
Remarques
•
Attention à la parenthèse :
•
Le carré d'un nombre relatif est toujours positif.
(− 3)2
≠ −3 2
2. Signe du produit de plusieurs nombres relatifs
Quand on multiplie plusieurs nombres relatifs non nuls, le signe du produit est :
« + » si le produit comporte un nombre pair de facteurs négatifs.
« - » si le produit comporte un nombre impair de facteurs négatifs.
III. Division
1. Division de deux nombres relatifs
•
•
Le signe du quotient de deux nombres relatif est obtenu en appliquant la règle des signes de la
multiplication.
La distance à zéro du quotient de deux nombres relatifs est le quotient des distances à zéro.
Remarques
Le quotient de deux nombres relatifs n'est pas obligatoirement un nombre relatif !
Il est IMPOSSIBLE de diviser un nombre par 0.
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2. Signe du quotient de plusieurs nombres relatifs
Dans un calcul algébrique qui ne comporte QUE des multiplications et des divisions, le signe du
résultat dépend du nombre de facteurs négatifs (pair ou impair), comme pour la multiplication seule.
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IV. Organisation d’un calcul
1. Ordre de priorité des opérations
a) Opérations prioritaires
Dans un calcul algébrique, on effectue obligatoirement les calculs dans l'ordre suivant :
- les parenthèses
- les carrés
- les multiplications et les divisions
- les additions et les soustractions
b) Propriété de l’addition/soustraction
Dans un calcul algébrique qui ne comporte QUE des additions ou des soustractions, on peut
effectuer les opérations dans l'ordre que l'on veut à condition d’utiliser les nombres relatifs.
Remarques
•
Cette dernière propriété résulte de la commutativité de l'addition.
•
Cette propriété est très utile pour le calcul mental car elle permet de regrouper les termes qui
vont s'annuler, ou dont le calcul est aisé.
c) Propriété de la multiplication
Dans un calcul algébrique qui ne comporte QUE des multiplications, on peut effectuer les opérations
dans l'ordre que l'on veut.
Remarques
Cette propriété résulte de la commutativité de la multiplication.
En utilisant cette propriété, on peut regrouper les facteurs dans un calcul afin de le simplifier.
•
•
d) Problème de la division
Lorsqu'un calcul comporte des divisions, on doit effectuer le calcul dans l'ordre d'écriture.
Remarque
La division n’a pas de propriété particulière car elle n'est pas commutative.
2. Gestion des parenthèses
a) Parenthèses et addition/soustraction
Quand les parenthèses ne sont ni précédées, ni suivies par un « × » ou un « ÷ »,
- Si elles sont précédées par un signe « + », on peut supprimer les parenthèses.
- Si elles sont précédées par un signe « - », on peut supprimer les parenthèses
à condition d’opposer tous les signes des nombres contenus dans les parenthèses.
b) Parenthèses et multiplication/division
Quand les parenthèses sont précédées (ou suivies) d’un « × », on peut les supprimer en
développant l’expression à l’aide de la distributivité de la multiplication (cf. chapitre III).
Quand les parenthèses sont précédées (ou suivies) d’un « ÷ », on ne peut pas les supprimer.
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