Série 6

Cours d’Algèbre I
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 3
28 octobre 2013
Série 6
Exercice 1.
Montrer que tout groupe d’ordre premier p est isomorphe à Z/pZ.
Solution. Soit G un groupe d’ordre p et x ∈ G différent de l’élément neutre.
Par le théorème de Lagrange, x a ordre divisant p, donc ord(x) = p puisque p est
premier et ord(x) > 1. Il a été vu en cours que G est alors cyclique, puisqu’il a
un élément d’ordre égal à son cardinal. Comme Z/pZ est le seul group cyclique
d’ordre p à isomorphisme près, on a alors G ∼
= Z/pZ.
Exercice 2.
Pour les trois choix suivants d’un groupe G et d’un sous-ensemble H de G,
décidez si H est un sous-groupe normal de G. En cas de réponse positive, identifiez le groupe quotient G/H.
(1) G :=
a b
0 d
: a, d ∈ R∗ , b ∈ R
et H :=
1 b
0 1
: b∈R
;
(2) G := Sn et H := An le sous-ensemble des permutations paires {1; . . . ; n} ;
(3) G := A4 et H := {Id; (1 2)(3 4); (1 3)(2 4); (1 4)(2 3)} quand n = 4.
Solution.
(1) Considérons l’application
ϕ : G → R∗ × R∗
( a0 db ) 7→ (a, d).
Pour tous a, d, a′ , d′ ∈ R∗ , b, b′ ∈ R, on a
′
′ +bd′ ′ ′
) = (aa′ , dd′ ) = ϕ(( a0 db ))ϕ(
ϕ(( a0 db ) a0 db ′ ) = ϕ( aa0 abdd
′
a′ b ′
0 d′
)
et ϕ(I2 ) = (1, 1), donc ϕ est un homomorphisme de groupes. De plus, il est
clair que ϕ est surjectif. Comme ker ϕ = H, ce dernier est un sous-groupe
normal, et par le premier théorème d’isomorphisme
G/H ∼
= im ϕ = R∗ × R∗ .
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(2) Considérons l’homomorphisme
ǫ : Sn → ({−1, 1}, ×)
défini dans l’exercice 4 de la série 5. Nous avons montré dans cette dernière
que pour tout σ ∈ Sn , on a ǫ(σ) = 1 si et seulement si σ est paire. Ainsi,
An = ker ǫ, d’où An est un sous-groupe normal de Sn . De plus, ǫ est
surjectif (par exemple ε((1 2)) = −1 alors que ε(id) = 1), ce qui implique
que
Sn /An ∼
= {−1, 1} ∼
= Z/2Z
par le premier théorème d’isomorphisme (et l’exercice 1 pour la seconde
égalité).
(3) Les éléments différents de l’identité de H sont précisément les éléments
de A4 dont la décomposition en cycles disjoints (unique à ordre près) est
composée de deux transpositions. Pour σ ∈ A4 , l’exercice 2 de la série 5
implique que
σ(a b)(c d)σ −1 = σ(a b)σ −1 σ(c d)σ −1
= (σ(a) σ(b))(σ(c) σ(d))
pour toutes transpositions disjointes (a b), (c d) ∈ S4 . L’élément σ(a b)(c d)σ −1
appartient donc à H puisque σ(a), σ(b), σ(c), σ(d) sont distincts. Ainsi, H
est normal dans G. Le groupe quotient G/H a ordre |G|/|H| = 3. Par
l’exercice 1, on obtient que G/H ∼
= Z/3Z.
Exercice 3. (les résultats de cet exercice sont à retenir).
Soient m > 1 un entier, et n un diviseur de m. Soit G un sous-groupe d’ordre n
de Z/mZ.
(1) Montrer que H := { x ∈ Z | [x]m ∈ G } est un sous-groupe de Z contenant mZ. En déduire que H = aZ pour un certain diviseur a de m.
(2) Montrer que G = h[a]m i. En déduire que n = m/a.
(3) Soit C un groupe cyclique d’ordre m. Montrer l’existence et l’unicité d’un
sous-groupe d’ordre n de C.
Solution.
(1) Si x, y ∈ H, alors
[x + y]m = [x]m + [y]m ∈ G
puisque G est un sous-groupe. De plus, 0 ∈ H car [0]m ∈ G. Si x ∈ mZ,
alors [x]m = [0]m ∈ G, d’où x ∈ H. Ainsi, H est un sous-groupe de Z
contenant mZ. Par l’exercice 4 de la série 3, il existe un entier a tel que
H = aZ. Comme m ∈ mZ ⊂ aZ, il vient que a|m.
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(2) Par définition de H, [x]m ∈ G si et seulement si x ∈ H = aZ. Par
conséquent, G = h[a]m i. Dans l’exercice 4 de la série 4, nous avons montré
que [a]m a ordre m/a. De là, on obtient que
n = |G| = |h[a]m i| = ord([a]m ) = m/a.
(3) Par le cours, on peut supposer que C = Z/mZ. Nous avons montré l’existence d’un sous-groupe d’ordre n pour tout n divisant m dans l’exercice
4 de la série 4. D’autre part, si H est un sous-groupe d’ordre n de Z/mZ,
alors les deux premiers points de l’exercice montrent qu’il existe a ∈ Z tel
que G = h[a]m i. Par le second point,
G = h[a]m i = h[n/m]m i,
d’où l’unicité.
Exercice 4. (les résultats de cet exercice sont à retenir).
(1) Soit G un groupe. Montrer que tout sous-groupe de G d’indice 2 est normal
dans G.
(2) Donner un sous-groupe normal N de S4 , et un sous-groupe normal H de
N tels que H ne soit pas normal dans S4 .
Solution.
(1) Soit H un sous-groupe de G d’indice 2. Pour g ∈ G, montrons que gH =
Hg, ce qui impliquera que H est normal dans G. Si g ∈ H, le résultat est
clair. Si g 6∈ H, alors gH 6= H, d’où
G/H = {H, gH}.
De même, on obtient que H\G = {H, Hg}. Or, G/H et H/G sont deux
partitions de G, d’où gH = G − H = Hg.
(2) De la même manière que dans le point (3) de l’exercice 4, on obtient que
N := {Id; (1 2)(3 4); (1 3)(2 4); (1 4)(2 3)}
est normal dans S4 . Soit H = h(1 2)(3 4)i = {id, (1 2)(3 4)}. Comme H
a indice 2 dans N , il s’agit d’un sous-groupe normal de N . Toutefois, H
n’est pas un sous-groupe normal de S4 , car
(1 2 3)(1 2)(3 4)(1 2 3)−1 = (1 4)(2 3) 6∈ H.
Ainsi, la normalité n’est pas une propriété transitive.