Contrôle 2

3ème
Contrôle 2
Exercice 1
L’écrivain grec Plutarque rapporte, dans
« Le banquet des sept Sages », la légende
suivante à propos de Thalès de Milet :
A l’aide d’un simple bâton et d’un théorème
qu’il tenait sans doute des géomètres
égyptiens, il réussit à calculer la hauteur de la
pyramide de Khéops en utilisant l’ombre de
cette dernière.
4 points
On donne :
OH = 122 m ; OB = 1,5 m et AB = 1,8 m.
S
1°) Justifier à l’aide des codages l’utilisation
du théorème de Thalès.
A
O
M
B
H
N
La figure ci-dessus schématise la situation et
n’est pas à l’échelle.
2°) Déterminer la hauteur SH de la
pyramide. Arrondir à l’unité.
Exercice 2
Les droites (ST) et (RU) sont parallèles et
l’alignement des points est lu sur la figure cicontre.
4 points
T
R
3x
7
O
Déterminer la valeur de x.
U
x+2
14
S
Exercice 3
I
6 points
Les diagonales du quadrilatère IJKL sont
sécantes en H.
J
15
20
1°) Démontrer que les droites (IJ) et (KL)
sont parallèles.
H
21
28
2°) Préciser la nature du quadrilatère IJKL.
Justifier.
L
K
Exercice 4
Les droites (AE) et (BF) sont parallèles, ainsi
que les droites (BD) et (CE).
6 points
C
B
Que peut-on dire des droites (AD) et (CF) ?
Justifier les résultats.
A
Vous venez de démontrer le théorème
attribué
à
Pappus
d’Alexandrie,
mathématicien grec (300 – 360).
O
D
E
F
Contrôle 2 : corrigé
3ème
Exercice 1
1°) Les droites (AB) et (SH) sont perpendiculaires à la droite (ON) ;or, si deux droites sont perpendiculaires à
une même troisième, alors elles sont parallèles ; donc les droites (AB) et (SH) sont parallèles.
2°) Les droites (SA) et (HB) sont sécantes en O et les droites (AB) et (SH) sont parallèles ; or, d’après le
OB = OA = AB
théorème de Thalès ; on conclut que :
OH OS SH
1,5 = 1,8
Avec les données :
donc
1,5 × SH = 1,8 × 122
122 SH
donc
SH
= 1,8 × 122 = 146,4  146 m
1,5
Exercice 2
Les droites (RS) et (UT) sont sécantes en O et les droites (RU) et (TS) sont parallèles ; or, d’après le théorème
OR = OU = RU
de Thalès ; on conclut que :
OS OT ST
x
+
2
7
=
donc
7 × 3x = 14 × (x + 2)
Avec les données :
3x
14
donc
21x = 14x + 28
donc
7x = 28
donc
x = 28 = 4
7
Exercice 3
I
J
1°) Comparons les rapports HI et HJ :
HK HL
20
15
HI × HL = 20 × 21 = 420 et
HK × HJ = 28 × 15 = 420
HJ
HI
H
=
.
HI × HL = HK × HJ donc
HK HL
28
21
Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en H, les rapports HI et HJ sont égaux et les
HK HL
points I,H et K sont alignés dans les même ordre que les points J, H et L ; d’après
la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que les droites (IJ) et (KL) sont
L
K
parallèles.
I
J
HI
2°) Comparons les rapports
et HL :
HK HJ
20
15
HI × HJ = 20 × 15 = 300 et
HK × HL = 28 × 21 = 588
H
HI × HL ≠ HK × HJ donc HI ≠ HL.
HK HJ
28
21
Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en H, les rapports HI et HJ sont différents ;
HK HL
d’après le théorème de Thalès, on conclut que les droites (IL) et (JK) ne sont pas
parallèles.
L
K
Le quadrilatère IJKL est donc un trapèze (1), mais pas un parallélogramme (2).
Exercice 4
Les droites (AB) et (EF) sont sécantes en O et les droites (AE) et (BF) sont
B
parallèles ; or, d’après le théorème de Thalès ; on conclut que : OA = OE = AE.
OB OF BF
A
OA
OE
En particulier,
=
, donc OA × OF = OB × OE.
O
OB OF
F
E
Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en O et les droites (BD) et (CE) sont
C
B
parallèles ; or, d’après le théorème de Thalès ; on conclut que : OB = OD = BD.
OC OE CE
OD
OB
=
, donc OB × OE = OC × OD.
En particulier,
O
OC OE
D
E
C
OA × OF = OB × OE = OC × OD donc OA × OF = OC × OD donc OA = OD.
OC OF
OD
OA
=
et les points O, A et C sont
Les droites (AC) et (DF) sont sécantes en O,
A
OC OF
O
F
D
alignés dans les même ordre que les points O, D et F ; d’après la réciproque du
théorème de Thalès, on conclut que les droites (AD) et (CF) sont parallèles.