´Etude d`un syst`eme de particules avec interaction `a longue portée

Étude d’un système de particules avec interaction à
longue portée
Responsable du stage : Bruno Marcos
Laboratoire J.-A. Dieudonné
Université de Nice — Sophia Antipolis
[email protected]
Lorsque nous considérons un système de particules interagissant à travers le potentiel à
deux corps V (r → ∞) ∼ 1/r γ , il est naturel de faire la distinction entre interactions à « courte
portée » (γ > d, où d est la dimension spatiale) et à « longue portée » (γ ≤ d).
Les interactions à longue portée présentent une thermodynamique atypique, comparée avec
les systèmes à courte portée [1] : il apparaı̂t une inéquivalence des ensembles thermodynamiques, des chaleurs spécifiques négatives dans l’ensemble micro-canonique, entre autres. De
plus, la dynamique qui les conduit vers l’équilibre thermodynamique a suscité ces dernières
années beaucoup d’intérêt : dans une première phase, dont l’échelle de temps est d’ordre O(1),
le système atteint génériquement un état « quasi-stationnaire » (QSS en anglais), puis, dans
une seconde phase, relaxe vers l’équilibre thermodynamique en une échelle de temps d’ordre
O(N), où N est le nombre de particules du système [1]. Dans la limite N → ∞, l’état quasistationnaire devient stable. Un exemple de QSS sont les galaxies, dont le temps de relaxation
vers l’équilibre thermodynamique est largement supérieur à l’âge de l’univers.
Un modèle populaire utilisé dans l’étude de systèmes à longue portée — car abordable
analytiquement et numériquement — est le « Hamiltonian Mean Field model » (HMF) [1,2,3].
Il s’agit d’un modèle simplifié de l’interaction gravitationnelle en une dimension sur un cercle,
qui présente cependant une phénoménologie similaire à celle-ci. Le potentiel gravitationnel est
développé en série de Fourier
v(θ) =
∞
X
a(k) cos(kθ)
θ ∈ [0, 2π],
(1)
k=1
et seul le terme k = 1 est conservé.
Le stage consistera à étudier (analytiquement et/ou numériquement) une généralisation du
modèle HMF en prenant plus d’un terme dans la série (1). Cette généralisation permet d’étudier,
notamment, la dynamique et la thermodynamique pour différents potentiels V (r → ∞) ∼ 1/r γ
et en particulier la portée des intéractions en fonction de l’exposant γ (voir [4]), ce qui n’est pas
possible avec HMF. Le stagiaire pourra étudier l’état d’équilibre thermodynamique, sa stabilité,
les états quasi-stationnaires, la relaxation vers l’équilibre thermodynamique, etc.
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Page web : http ://math.unice.fr/∼marcos/
Pré-requis : physique statistique à l’équilibre, programmation (C ou Fortran). Éventuellement
physique statistique hors équilibre.
Références :
[1] Statistical mechanics and dynamics of solvable models with long-range interactions, A. Campa,
T. Dauxois and S. Ruffo, Phys. Rep. 480 57-159 (2009) arxiv :0907.0323.
[2] Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics, M. Antoni and S. Ruffo,
Phys. Rev. E 52 2361 (1995).
[3] Stability criteria of the Vlasov equation and quasi stationary states of the HMF model,
Y. Yamaguchi, J. Barré, F. Bouchet, T. Dauxois and S. Ruffo, Physica A 337, 36 (2004)
cond-mat/0312480.
[4] Quasistationary States and the Range of Pair Interactions, A. Gabrieli, M. Joyce and
B. Marcos, Phys. Rev. Lett. 105, 210602 (2010) arXiv :1004.5119.
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