1 Table de caractères de A4 Théorème 1. La table

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Table de caractères de A4
Théorème 1. La table de caractère de A4 est donnée par :
χ1
χ2
χ3
χ4
Id
1
1
1
3
(12)(34) (123)
1
1
i2π/3
1
e
1
e4iπ/3
−1
0
(123)
1
4iπ/3
e
e2iπ/3
0
Démonstration. :
Objectif 1 : Déterminer le nombre de classes de conjugaisons de A4 pour déterminer le nombre
de représentations irreductibles.
Déterminons pour commencer les cardinaux admissibles pour une classe de conjugaison de A4 .
Comme A4 A4 par conjuguaison chaque classe de conjugaison a un cardinal qui divise 12 =
card(A4 ). En effet, pour σ ∈ A4 , on a bien :
A4 /stab(σ) ' C(σ) = {τ ◦ σ ◦ τ −1 , τ ∈ A4 } =⇒ card(A4 ) = card(stab(σ))card(C(σ))
Alors, card(A4 ) =⇒ card(C(σ)) ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12} et comme {Id} est l’unique classe de conjugaison de cardinal 1, le cardinal des autres classes de conjugaison est à prendre dans {2, 3, 4, 6}.
Premières observations : Comme A4 ⊂ S4 , deux permutations de A4 conjuguées sous A4 , le
sont également sous S4 et ont donc des décompositions en cycles à supports disjoints qui font
intervenir le même nombre de k-cycles pour k ∈ [[1, n]]. Rappelons la structure de A4 . On a :
A4 = {(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)} ∪ V4
où V4 = {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. On a V4 / A4 , d’où l’on déduit naturellement l’égalité :
A4 (V4 \ {Id})A−1
4 = V4 \ {Id}. Ceci ne signifie pas nécessairement que V4 \ {Id} est une classe
de conjugaison de A4 mais juste qu’elle est union disjointe de classes de conjugaison de A4 . Par
cardinalité, c’est soit l’union disjointe de :
• trois classes d’ordre 1
• une classe d’ordre 1 et une classe d’ordre 2.
• une classe d’ordre 3.
Puisque {Id} est la seule classe de conjugaison d’ordre 1, V4 \ {Id} est donc une classe de conjugaison.
Détermination des classes de conjugaison de (123) et (132) : on détermine facilement que
{(123), (142), (134), (243)} ⊂ C((123)) et {(132), (124), (143), (234)} ⊂ C((132)) en conjugant
(123) et (132) avec les éléments de V4 \ {Id}. Par cardinalité, l’union de ces deux ensembles
{(123), (142), (134), (243), (132), (124), (143), (234)} n’est pas une de conjugaison, d’où :
{(123), (142), (134), (243)} = C((123)) et {(123), (142), (134), (243)} = C((123))
soit finalement A4 = {Id} t V4 \ {Id} t C((123)) t C((132)). Il y a donc 4 classes de conjugaison,
donc 4 représentations irreductibles de A4 à isomorphismes près. Notant (ni )1≤i≤4 les dimensions
de ces représentations on a :
n21 + n22 + n23 + n24 = 12 avec n1 = 1
où figure parmi ses 4 représentations irreductibles, la représentation triviale de dimension n1 = 1
et de caractère associé χ1 = 1.
Objectif 2 : Utilisons le fait que V4 / A4 pour déterminer grâce aux représentations irreductibles
de A4 /V4 , des représentations irreductibles de A4 .
Comme A4 /V4 ' Z/3Z est abélien, l’étude des représentations irreductibles de A4 /V4 revient
à la détermination du dual de A4 /V4 qui est lui-même isomorphe à Z/3Z. De plus, toute représentation irreductible de A4 /V4 étant de dégré 1, du type ρ : A4 /V4 −→ C∗ , la composée ρ ◦ π : A4 −→ C∗ est alors une représentation irreductible de A4 (car de degré 1) où
π : A4 −→ A4 /V4 désigne la surjection canonique.
La cyclicité de Z/3Z entraîne donc que l’ensemble des caractères associés est un groupe
isomorphe à Z/3Z. Il est composé de 3 morphismes de Z/3Z −→ C∗ , plus précisément à valeurs
dans U3 . Pour ei2π/3 racine 3-ème primitive de l’unité, les morphismes de Z/3Z −→ U3 sont
exactement les morphismes χk où k ∈ [[1, 3]], entièrement déterminés par l’image du générateur
1 et définis par :
2
χk :
Z/3Z −→
1
7−→
C∗
(e2iπ/3 )k
Par ψ, un isomorphisme de A4 /V4 −→ Z/3Z, on obtient 3 morphismes distincts de A4 /V4 −→ C∗ ,
puis en composant avec π : A4 −→ A4 /V4 , 3 morphismes distincts de A4 −→ C∗ qui donne bien
3 représentations irreductibles non isomorphes. En effet, des représentations irreductibles de
dimension 1 sont isomorphes si et seulement si elles sont deux à deux distinctes car on peut les
identifier avec leurs leurs caractères et que l’on sait que deux représentations de groupes sont
isomorphes si et seulement si elles ont le même caractère.
Identifions A4 /V4 avec Z/3Z, grâce à l’isomorphisme ψ définit par :
A4 /V4
Id
(123)
(132)
−→
7−→
7−→
7−→
Z/3Z
0
(il y a deux isomorphismes de A4 /V4 −→ Z/3Z)
1
2
Les morphismes de A4 −→ C∗ sont constants sur les classes de conjugaison, il suffit donc de
connaitre les images de ces morphismes en des représentants comme par exemple Id, (123), (132)
et (12)(34). De plus, comme Id = (12)(34) dans A4 /V4 , il suffit même pour connaître les morphismes de A4 −→ A4 /VA −→ Z/3Z −→ C∗ de connaître les images de Id, (123) et (132). Les
morphismes χ0k = χk ◦ ψ ◦ π pour k ∈ [[1, 3]] sont :
A4
Id
χ01 :
(123)
(132)
−→
−→
−→
−→
A4 /V4
Id
(123)
(132)
−→
−→
−→
−→
Z/3Z
0
1
2
−→
−→
−→
−→
A4
Id
χ02 :
(123)
(132)
−→
−→
−→
−→
A4 /V4
Id
(123)
(132)
−→
−→
−→
−→
Z/3Z
0
1
2
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
A4
Id
χ03 :
(123)
(132)
A4 /V4
Id
(123)
(132)
−→
−→
−→
−→
Z/3Z
0
1
2
−→
−→
−→
−→
C∗
1
ei2π/3
ei4π/3
C∗
1
ei4π/3
ei2π/3
C∗
1
1
1
Ceci nous donne 3 représentations irreductibles distinctes de degré 1. On en déduit alors que
n1 = n2 = n3 = 1 puis n21 + n22 + n23 + n24 = 12 =⇒ n24 = 12 − 3 = 9 =⇒ n4 = 3. Ainsi, A4
admet donc 3 représentations irreductibles de dimension 1 et une représentation irreductible de
dimension 3.
Table de Caractère de A4
χ1
χ2
χ3
χ4
Id
1
1
1
3
(12)(34) (123)
1
1
1
ei2π/3
1
e4iπ/3
?
?
(123)
1
e4iπ/3
e2iπ/3
?
Pour compléter la table, on utilise le caractère de la représentation régulière qui nous donne pour
4
P
g 6= Id :
ni χi (g) = 0. Alors :
i=1
χ1 ((12)(34)) + χ2 ((12)(34)) + χ3 ((12)(34)) + 3χ4 ((12)(34)) = 0 =⇒ χ4 ((12)(34)) = −1.
et χ1 ((123))+χ2 ((123))+χ3 ((123))+3χ4 ((123)) = 0 =⇒ χ4 ((123)) = 0. De même χ4 ((132)) = 0.
Soit :
χ1
χ2
χ3
χ4
Id
1
1
1
3
(12)(34) (123)
1
1
1
ei2π/3
1
e4iπ/3
−1
0
(123)
1
e4iπ/3
e2iπ/3
0
3
Rappel 1. V4 / A4 .
Démonstration. Le résultat est immédiat sachant que le conjugué d’un produit de deux transpositions à supports disjoints par un élément de A4 est aussi un produit de deux transpositions
à supports disjoints.
Rappel 2. Le nombre de classes de conjugaison d’un groupe G est le nombre de représentations
irreductibles (à isomorphismes près) de G.
Rappel 3. Deux représentations W et W 0 d’un groupe G sont isomorphes ⇐⇒ si les caractères
associés sont égaux, ie χW = χW 0 .
Rappel 4. G est abélien ⇐⇒ toutes ces représentations irreductibles sont de dimension 1.
Rappel 5. Notant Irr(G) l’ensemble des représentations irreductibles de G à isomorphisme près,
on a :
P
P
dim(W )2 = card(G) et
dim(W )χW (g) = 0 si g 6= 1G .
W ∈Irr(G)
W ∈Irr(G)
\ est aussi
b le groupe dual de G on a G ' G
b et si G ' Z/nZ, alors Z/nZ
Rappel 6. Notant G
∗
cyclique. Les n morphismes de Z/nZ dans C sont les morphismes (χi )1≤i≤n donnés par :
χi :
Z/nZ
1
−→
7−→
Un
où ω = ei2π/n .
ωi
Rappel 7. A4 /V4 = {Id, (123), (132)}.
Démonstration. (123)(12)(34) = (134), (123)(13)(24) = (243), (123)(14)(23) = (142) nous donne
(123) = (134) = (243) = (142) dans A4 /V4 . De même (132)(12)(34) = (234), (132)(13)(24) =
(124), (132)(14)(23) = (143) nous donne (132) = (243) = (124) = (143) dans A4 /V4 . Comme,
naturellement Id = (12)(34) = (13)(24) = (14)(23) on en conclut A4 /V4 = {Id, (123), (132)}.