racines carrées

3ème Chapitre A3
I)
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
1
Définition et conditions d’existence de la racine carrée d’un nombre.
1) Définition .
Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le résultat
est 36 :
6 et – 6
En effet : 6 ² = 6  6 = 36
et
( – 6 ) ² = ( – 6 ) ( – 6 ) = 36
On choisit le nombre positif pour définir la « racine carrée » de 36.
On décide que 36 = 6
Df : Soit a un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre
positif noté a dont le carré est a.
Quel que soit a positif ou nul,
( a)² = a
! Remarque : La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
Exemples :
81 = 9 car 9 ² = 81 ;
1.44 = 1.2 car 1.2 ² = 1.44
! Remarque : Les racines carrées entières sont les racines carrées des
« carrés parfaits » , c’est à dire des carrés de nombres entiers.
Liste des carrés parfaits jusqu’à 20 ² :
1² = 1
6 ² = 36
; 2² =4
;
; 3² = 9
7 ² = 49
; 4 ² = 16
;
; 8 ² = 64 ; 9 ² = 81
5 ² = 25
; 10 ² = 100
11 ² = 121 ; 12 ² = 144 ; 13 ² = 169 ; 14 ² = 196 ; 15 ² = 225
16 ² = 256 ; 17 ² = 289 ; 18 ² = 324 ; 19 ² = 361 ; 20 ² = 400
! Remarque :
A partir d’un carré parfait, il faut un décalage de virgule de 2 rangs vers la
droite ou vers la gauche pour que la racine carrée du nombre obtenu soit
un nombre décimal ( dont la partie décimale soit finie.)
3ème Chapitre A3
2
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Exemples :

169 = 13
16900 = 130
1690000 = 1300
1.69 = 1.3
par contre
0.0169 = 0.13
16.9 ou
1690 ne sont pas
des nombres décimaux.
 Compléter le tableau suivant :
a
– 25
25
5
a
a2
225
225
1
4
1
2
1
25
49
900
5
7
0.4
225
2401
0.0256
30
(5 – 9) ²
810000
0.16
2) Avec la calculatrice :
….
On utilise la touche
576 = 24 valeur exacte
575  23.979158 valeur approchée par défaut.
3) Propriété de base .
Quel que soit nombre positif a,
! Remarque : donc (
a)² =
a² = a
a
a =
a²=
aa
Exemple :
( 5)² = 5
10 6 =
1.2  1.2 = 1.2
( 10 3 ) ² = 10 3
7 7 = 7
6
6
36
3ème Chapitre A3
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
II) Equation du second degré de la forme x ² = a.
 Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 49.
Il y en a deux :
7 et – 7, c’est à dire :
49 et – 49
 Je cherche toutes les valeurs de x pour que x = 0.
Il n’y en a qu’une :
0 ( ou
0 )
 Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = – 64
Il n’y en a aucune, car un carré est toujours positif
Récapitulatif :
 Si a est positif :
x ² = a a pour solutions : x =
a et x = –
a
 Si a est nul :
x ² = 0 a pour solution : x = 0
 Si a est négatif :
x ² = a n’a pas de solution.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
 x ² = 256 cette équation admet deux solutions :
x = 256
et x = – 256
x = 16
et x = – 16
 x ² = 11 cette équation admet deux solutions :
x =
11 et x = –
11
 x ² = – 25 cette équation n’admet aucune solution , car un carré est
toujours positif.
3
3ème Chapitre A3
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
 3x²–8 =–5
3x ² = – 5 + 8
3x ² = 3
x² = 33
x ² = 9 cette équation admet deux solutions :
x = 9 et x = – 9
x = 3 et x = – 3
 x ² = 0 cette équation n’admet qu’une solution : x = 0
III)
Propriétés et règles de calcul.
1) Racine carrée d’un produit .
Quels que soient les nombres positifs a et b,
ab =
a 
a 
b ou
b =
ab
La racine carrée d’un produit de deux nombres positifs est égale au
produit des racines carrés de chacun d’eux.
Exemples :

3 5 =

12 =

5  20 =
35 =
43 =
15
4 3 = 2 3
5  20 =
100 = 10
2) Racine carrée d’un quotient.
Quels que soient les nombres positifs a et b,
a
=
b
a
ou
b
a
=
b
a
b
La racine carrée du quotient de deux nombres positif est égale au quotient
des racines carrées de chacun d’eux.
4
3ème Chapitre A3
5
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Exemples :


10
=
2
25
=
81

75
=
3

3
=
4
! Remarque :
10
=
2
5
25
5
=
9
81
75
= 25 = 5
3
3
=
4
3
2
Il n’existe pas de formules liant les racines carrées avec les
sommes et les différences.

a+b
a +
b
a–b 
et
a –
b
Exemples :
IV)

16 + 9 =

100 – 64 =
25 = 5
36
et
16 +
et
100 –
9 = 4+3 = 7
64 = 10 – 8 = 2
Comparaison de racines carrées.
Règle : Deux racines carrées sont toujours rangées dans le même ordre
que leurs carrés.
Quels que soient les nombres positifs a et b,
Si
a  b alors a  b et si a  b alors
Exemples :
 Comparer
56 < 57 donc
56 et
56 <
57
57
a 
b
3ème Chapitre A3
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
 Comparer 3 2 et
27
( 3 2 ) ² = 3 ² 2 ² = 9  2 = 18
27 ²
V)
= 27
donc 3 2 <
27
Différents types d’exercices.
1) Simplifier une racine carrée.
Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit
possible. ( ou…. simplifier ! )

50 =
25  2 =

24 =
43 =

64 = 8
25  2 = 5 2
4 3 = 2 3
 6 45 = 6 9  5 = 6 9  5 v = 6  3 5 = 18 5
2) Simplifier un produit, quotient ou carré de racines carrées.
Mettre sous la forme a b où a est une fraction ou un entier et b un
entiers avec b le plus petit possible. ( ou…. simplifier ! )

45  5 =

21  15 =

12
=
27
955 =
9  5  5 = 3  5 = 15
7335 =
43
=
93
3  3  7  5 = 3 35
4 3
2
=
3
9 3
3) Simplifier une somme.
Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit
possible. ( ou…. simplifier ! )
 4 5 + 125 = 4 5 + 5  25
= 4 5 + 5  25
= 4 5+5 5
= 9 5
6
3ème Chapitre A3

RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
75 – 4 27 + 2 48 = 25  3 – 4  9  3 + 2  16  3
= 25  3 – 4  9  3 + 2  16  3
= 5 3–43 3+24 3
= 5 3 – 12 3 + 8 3 =

3
200 + 4 50 – 7 32 = 100  2 + 4  25  2 – 7  16  2
= 100  2 + 4  25  2 – 7  16 
2
= 10 2 + 4  5 2 – 7  4 2
= 10 2 + 20 2 – 28 2
= 2 2
4) Développer et réduire un produit contenant des racines carrées.
Mettre sous la forme a + b c où a, b et c sont des entiers avec c le plus
petit possible. ( ou…. simplifier ! )
 ( 2 + 3 ) ( 5 – 2 ) = 5 2 – 2 ² + 15 – 3 2
= 2 2 – 2 + 15
= 13 + 2 2
 (3 5–2)²
= (3 5)²–23 52+4
= 9  5 – 12 5 + 4
= 45 + 4 – 12 5
= 49 – 12 5
 (2 7+5)(2 7–5)
! Remarque :
= (2 7)²–5²
= 4  7 – 25
= 28 – 25
= 3
Dans le sens développement, la troisième égalité
remarquable supprime les radicaux.
7
3ème Chapitre A3
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
8
5) Supprimer les radicaux au dénominateur d’un quotient.
Supprimer la racine au dénominateur :


5
5 2
5 2
=
=
2
2
2 2
3
3 3
3 3
=
=
=
3
3
3 3
3
Supprimer la racine au dénominateur en utilisant la troisième égalité
remarquable dans le sens développement.

6
6(2+ 5)
12 + 6 5
12 + 6 5
=
=
=
4–5
–1
2– 5
(2– 5)(2+ 5)
= – 12 – 6 5

VI)
2
=
3 2–1
Application à la géométrie.
1) Hauteur d’un triangle équilatéral de coté a.
Soit un triangle équilatéral de côté a, et sa hauteur issue de C qui coupe
[AB] en H. Calculer la valeur exacte de la hauteur [CH].
Dans un triangle équilatéral, les hauteurs
sont aussi médianes, donc (CH) est la
médiane issue de C dans le triangle ABC
a
et H est le milieu de [AB]. Donc AH =
2
C
a
a
Dans un triangle équilatéral, les trois
angles valent chacun 60 °,
donc CAH = CAB = 60 °
A
H
a
2
B
(CH) étant la hauteur issue de C dans le
triangle ABC, on peut dire que le triangle
ACH est rectangle en H
3ème Chapitre A3
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
9
Dans le triangle ACH, rectangle en H, je peux appliquer le théorème de
Pythagore :
4a² a²
–
4
4
AC ² = AH ² + HC ²
HC ² =
HC ² = AC ² – AH ²
HC ² =
a
HC ² = a ² – ( ) ²
2
HC =
3a²
4
3 a²
4
HC ² = a ² –
a²
2²
HC =
HC ² = a ² –
a²
4
HC =
3a²
4
a 3
2
Propriété : Dans un triangle équilatéral de côté a, la mesure des hauteurs
a 3
est
2
2) Diagonale d’un carré de côté a.
Soit un carré MNPR de côté a.
a
N
P
Dans le carré MNPR, les 4 angles sont
droits, donc le triangle MNP est
rectangle en N. Je peux y appliquer le
théorème de Pythagore :
MP ² = MN ² + NP ²
a
MP ² = a ² + a ²
MP ² = 2 a ²
M
MP =
R
2 a ² donc MP =
2  a ² donc MP = a 2
3ème Chapitre A3
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Propriété : La diagonale d’un carré de côté a mesure a 2
10