Droite d`Euler

Droite d'Euler
Il s'agit de montrer que dans un triangle le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité sont alignés. La droite qui les contient est la droite d'Euler.
Soit ABC un triangle.
1­ Centre du cercle circonscrit
Construire le point O centre du cercle circonscrit à ABC et tracer ce cercle.
On appelle I le milieu de [BC], K le pied de la hauteur issue de A et E le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit.
2­ Orthocentre
–
–
–
–
Montrer que les droites (OI) et (AK) sont parallèles.
La droite (EI) coupe la droite (AK) en H. Montrer que I est le milieu de [EH].
Montrer que BECH est un parallélogramme.
Montrer que les droites (BH) et (AC) sont perpendiculaires; en déduire que H est l'orthocentre du triangle ABC.
3­ Centre de gravité
–
–
Les droites (OH) et (AI) se coupent en G. Montrer que G est le centre de gravité du triangle AHE.
En déduire que G est aussi le centre de gravité du triangle ABC.
4­ Conclusion
A
H G
B
K
Les points O, H et G sont alignés, donc le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité du triangle ABC sont alignés.
O
C
I
E