Indications – pour ceux qui ont tout essay´e par eux

Indications – pour ceux qui ont tout essayé par eux-mêmes
1 Considérer u6n , se souvenir du lemme sur les sous-suites paires et impaires.
2 Trouver les intervalles stables les plus grands possibles (deux).
Cet exercice change de physionomie si on pose u0 = cos ✓. . . (ou ± ch t selon le cas).
3 Ceci découle du lemme de l’échelle dans le chapitre des séries. La démonstration à la main consiste
à fixer " > 0 ; en déduire un certain N ; découper la somme qui constitue vn - ` au bon endroit et
majorer successivement les deux morceaux ainsi obtenus par eps.
r
3
↵
4 ↵ = -2 convient (DL de sin et de (1 + t) ) Il vient un ⇠
.
n
5 Proba de ne jamais être choisi(e) ? Puis DL.
arg zn-1
8 arg zn =
. Multiplier par 2n sin 2tn .
2
10 cos t est une combinaison linéaire de 1 et de 5 + 4 cos ✓.
Pour simplifier la fin on peut remarquer que
— comme la suite est bornée (le prouver !) le terme en (-2)n est forcément nul, et
— exprimer une relation entre u0 , u1 sans essayer mordicus de les calculer.
13 Lemme facile par récurrence.
Fourier : une remarque plutôt qu’une indic. Les fonctions e-2i⇡kx/n forment une base de E (il y en a n
et elles sont indépendantes), pas étonnant que f puisse s’exprimer comme une combinaison linéaire
d’elles.
11 Faire petit à petit : un > 0, un 6 1/n, un ⇠ 1/n . . . .
12 Si on calcule de manière exacte (en type rationnels) la suite converge vers 6.
À cause d’erreurs d’arrondi elle bifurque à un moment (cela dépend de la précision des calculs
internes à votre calculatrice) et repart pour converger vers 100. . .
pn
En fait on pose an =
avec pn , qn des entiers et on vérifie que qn = pn-1 puis que pn vérifie une
qn
récurrence linéaire qui se résout en pn = ↵5n + 6n + 100n . La moindre approximation dans le calcul
fait apparaı̂tre un coefficient 6= 0 et alors. . .
14 Ce sont les polynômes de C̆ebyschev 1 de seconde espèce, même récurrence que les premiers mais
⇡
initialisation différente. On a 2 cos2 12
- 1 = cos ⇡6 . . .
Pour calculer 1 + cos t + cos(2t) + cos(3t) + . . . cos(nt) on peut passer par les exp ou multiplier par sin x2
et linéariser (astuce).
sin(7⇡/12)
⇡
Enfin
= C6 cos 12
.
sin(⇡/12)
1. Un caramel à qui trouve son prénom et l’écrit au tableau en cyrillique !