ф д к н лгйа дд
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ANALYSE VECTORIELLE Soient U et V deux hamps salaires et ~a et ~b deux hamps vetoriels. Attention l'équivalene des formules ave elles données ave la notation ~ ∇ n'est rigoureuse qu'ave le système de oordonnées artésiennes. Dans les autres as, 'est juste une failité de notation tolérée. 1.1 Formules portant sur un seul hamp → ~ ∇U ~ )=∇ ~ 2 U soit div(grad U ) = ∆U 1. ∇.( → → ~ ∧ (∇U ~ ) = ~0 soit rot(grad U ) = ~0 2. ∇ → ~ ∇ ~ ∧ ~a) = ~0 soit div(rot ~a) = ~0 3. ∇.( → → → ~ ∧ (∇ ~ ∧ ~a) = ∇( ~ ∇.~ ~ a) − ∇ ~ 2~a soit rot(rot ~a) = grad(div~a) − ∆~a 4. ∇ 1.2 Formules portant sur deux hamps → → → ~ V ) = V ∇(U ~ ) + U ∇(V ~ ) soit grad(U V ) = V grad U + U grad V 1. ∇(U → ~ ~ ) + U (∇.~ ~ a) soit div(U~a) = grad U.~a + U div~a a) = ~a(∇U 2. ∇.(U~ → → → ~ ∧ (U~a) = (∇U ~ ) ∧ ~a + U (∇ ~ ∧ ~a) soit rot(U~a) = grad U ∧ ~a + U rot ~a 3. ∇ → → ~ a ∧ ~b) = ~b.(∇ ~ ∧ ~a) − ~a.(∇ ~ ∧ ~b) soit div(~a ∧ ~b) = ~b. rot ~a − ~a. rot ~b 4. ∇.(~ ~ ∧ (~a ∧ ~b) = (∇. ~ ~b)~a − (∇.~ ~ a)~b + (~b.∇)~ ~ a − (~a.∇) ~ ~b 5. ∇ → → → soit rot(~a ∧ ~b) = (div~b)~a − (div~a)~b + (~b. grad)~a − (~a. grad)~b ~ a.~b) = ~a ∧ (∇ ~ ∧ ~b) + ~b ∧ (∇ ~ ∧ ~a) + (~b.∇)~ ~ a + (~a.∇) ~ ~b 6. ∇(~ → → → → → soit grad(~a.~b) = ~a ∧ (rot ~b) + ~b ∧ (rot ~a) + (~b. grad)~a + (~a. grad)~b 1.3 1.3.1 Expressions des opérateurs dans divers systèmes de oordonnées Gradient ∂U ∂U ~ex + ~ey + ~ez * artésiennes : grad U = ∂y ∂z → 1 ∂U ∂U ∂U * ylindriques : grad U = ~er + ~eθ + ~ez ∂r r ∂θ ∂z → 1 ∂U 1 ∂U ∂U ~er + ~eθ + ~eϕ * sphériques : grad U = ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ → 1.3.2 ∂U ∂x Divergene ∂ax ∂ay ∂az * artésiennes : div~a = + + ∂x ∂y ∂z 1 ∂aθ ∂az 1 ∂rar 1 ∂rar + + * ylindriques : div~a = . Si ~a = ar (r)e~r alors div~a = r ∂r r ∂θ ∂z r ∂r 1 1 ∂aθ sin θ ∂aϕ 1 ∂r2 ar 1 ∂r2 ar + + * sphériques : div~a = 2 . Si ~a = ar (r)e~r alors div~a = 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ r ∂r 1 1.3.3 Rotationnel ∂ax ∂az ∂ay ∂ax ~ex + ~ey + ~ez − − * artésiennes : rot ~a = ∂z ∂x ∂x ∂y → 1 ∂az 1 ∂(raθ ) ∂ar ∂ar ∂aθ ∂az * ylindriques : rot ~a = ~er + ~eθ + ~ez − − − r ∂θ ∂z ∂z ∂r r ∂r ∂θ → 1 1 ∂(raθ ) ∂ar ∂(aϕ sin θ) ∂aθ 1 ∂ar 1 ∂(raϕ ) ~er + ~eθ + ~eϕ − − − * sphériques : rot ~a = r sin θ ∂θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂θ → 1.3.4 ∂ay ∂az − ∂y ∂z Laplaien 2 2 ∂ U ∂ U ∂2U + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 2 ∂ U 1 ∂ ∂U ∂ U 1 ∂2U 1 ∂U * ylindriques : ∆U = . Si U = U (r) alors ∆U = r + 2 + + ∂r2 r ∂r r ∂θ2 ∂z 2 r ∂r ∂r 2 2 1 ∂U 2 ∂U 1 ∂ ∂ U ∂ U + 2 2 sin θ + + 2 * sphériques : ∆U = . 2 2 ∂r r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 1 ∂ 2 ∂U Si U = U (r) alors ∆U = 2 r r ∂r ∂r * artésiennes : ∆U = 1.4 1.4.1 Ation des opérateurs sur le trièdre de base Coordonnées ylindriques Rotationnel ~ er = ~0 rot~ ~ eθ = ~ez rot~ r ~ ez = ~0 rot~ Divergene div~er = 1.4.2 1 r div~eθ = 0 div~ez = 0 Coordonnées sphériques Rotationnel ~ eϕ = cos θ ~er − ~eθ rot~ r sin θ r ~ er = ~0 rot~ ~ eθ = ~eϕ rot~ r Divergene div~er = 2 r div~eθ = 2 1 r tan θ div~eϕ = 0