FICHE PÉDAGOGIQUE

FICHEPÉDAGOGIQUE
Carrelage (proposéparJean-PhilippeVanroyen)
Voicilepland’unséjour:
Onsouhaitecarrelerceséjouravecdescarreauxde
formecarréedontlecôtémesure30cm.
Cecarrelageestvenduauprixde21€ le m2.
Quel est le budget minimum à consacrer à l’achat
des carreaux?
1. INFORMATIONPERTINENTESURLEPROBLÈME
Pistesd’exploitationduproblèmeaveclesélèves
a) Liensaveclaviedetouslesjours
- Calculd’unnombredepièces-unitéspourcouvrirunesurfacedontlesdimensionssont
connues(ils’agitd’undallage).
- Coûtsassociés(qu’onveutminimiser)àl’achatd’unequantitérequise.
b) Contextesdanslesquelslescontenustouchéspeuventêtreutilisés
D’autrescontextespeuventameneraumêmetypederaisonnementmathématique:
- pavaged’unsentier
- couvertured’unmur
- emplacementdeconfiseriedansuneboîte(parexemple,descarrésauxdattes).
c)
Informationsupplémentaire
Voicilelienversunsitequiexpliqueleproblèmedecarrelagedansuncontexteréel:
«Carrelage:Decombiendecarreauxavez-vousbesoin?»:http://www.maisonfacile.com/magazine/bricolage/carrelage/677-carrelage-de-combien-de-carreaux-avezvous-besoin/
IMPORTANT:Laformulesuggérée(diviserlasurfacetotaleparlasurfaced’uncarré-unité)
nefonctionnepasdanslecontextedenotreproblème,carlesdimensionsetlaformede
notreséjournécessitentundécoupagepourminimiserlescouts.
d) Questionsd’objectivation
Leproblèmeestcomplexeetdemandedeshabiletéscognitivesdehautniveau.Ainsi,au
débutdelaleçon,ilseraitintéressantdes’assurerquetouslesélèvescomprennent
l’énoncé.Entreautres,onpeutexaminerlasituationaveclesélèvesenleurposantdes
questions«générales»:
§ Racontezl’histoiredansvospropresmots.Dequois’agit-il?
§ Quelqu’undevotrefamillea-t-ildéjàcarreléunséjour?
§ Quelqu’undevotrefamillea-t-ilfaitunachatdetuilespourcouvrirunplancher?
§ Commentpeut-onsavoirlenombredetuilesàacheter?
Enmêmetemps,onpeutvoir,lorsdeladiscussionsilesélèvesrepèrentbienlesens
mathématiqueduproblèmeenyressortantdesélémentsclés:longueurtotaled’une
partiedumur,mesured’uncôtéducarré-unité,prixd’unmètrecarré.
Onpeut,parexemple:
- demandersilesélèvesremarquentcommenttrouverlenombredecarrés-unitésà
placerlelongd’unmur.
o Deuxpetitsdétailssontimportantsàrepérer:1)lapossibilitédudécoupageet
2)lebesoindeminimiserlecoût.
- faireremarquerauxélèvesquelesmesuresdelongueursontdonnéesencmalorsque
leprixestpourunmètrecarré,doncuneconversionpourraitêtrenécessaire.
- suggérerauxélèvesdeprocéderparétapes(déterminerd’abordlenombredecarréset
ensuite,lecoût).
- discuteraveclesélèves,s’ilsproposentdetrouverlasurfacetotaleetdeladiviserpar
30cmcarrés(afindevoirsicelaestplausible).
Ilseraittoutefoispréférable,endébutdel’activité,denepasdiscuterexplicitementdela
façonderésoudreleproblèmeafindepermettreauxélèvesdedévelopperleurpropre
stratégiederésolution.
Lorsdedifférentesétapesd’exploration,onpeutposerdesquestionsdeclarificationaux
élèves:
§ Commentas-tutrouvécettesolution?
§ Pourquoicettesolutionest-ellecorrecte?
§ Peux-tutrouveruneautresolution?
Àlafindelaleçon,ilseraitintéressantetimportantd’encouragerlesélèvesàprésenter
leursdémarchesetd’avoirunediscussiongénéralefaisantlepointsurlesstratégies
employéesetsurd’autresquisontpossibles(toutdépendduniveauscolaireetaussides
objectifsdel’enseignant).
2. CONTENUD’APPRENTISSAGEENJEU
Selonleniveauscolaireetlesobjectifs(résultats)d’apprentissagevisés,leproblèmepeut
mettreenvaleurdifférentscontenus:
- Multiplicationetdivisiondenombresentiers
- Nombresdécimaux
- Multiplicationd’unnombredécimalparunnombreentier
- Mesuredelongueur
- Calculdelasurface(aire)
- Conversiondemesures(cmàm,etc.)
- Argent.
Depluslapossibilitéd’employerdifférentesstratégiescontribueaudéveloppement
d’habiletésderésolutiondeproblèmes.
3. Solutionspossibles
Calculerlenombredecarreaux
Onremarquetoutd’abordquelasurfaceduséjourpeutêtrecoupéeendeuxparties
rectangulaires,celleduhaut(500cmx600cm)etcelledubas(310cmx300cm).
Onpeutcommencerparlecarrelagedelapartiesupérieure.Ainsi,onpeutmettreune
rangéede20carreaux(600/30=20carréesparrangée).Surlalongueurde500cm,onpeut
mettreexactement16rangées(16x30=480cm)etilresteraencoreunebandede20cm
par600cm.Cettebandepeutêtrecouvertepardesmorceauxdécoupés,soit20carreaux
dedimensions20cmx30cm.Suiteàladécoupe,ongardeencore20carreauxde
10cmx30cm.
Ons’occupemaintenantdelapartieinférieure.Delamêmefaçon,oncarrelle10rangées
de10carreaux,cequicouvrelasurfacede300cmx300cm.Ilrestecettefois-ciunebande
de300cmpar10cm.Onutilisedonc10carreauxde10cmdurestedelapremière
découpe.
Lenombretotaldecarreauxsetrouveainsi:
16x20=320(partiesupérieure)
320+20=340(aprèsla découpe)
10x10=100(partieinférieure)
Lesmorceauxdelapremièredécoupecomplètentlecarrelagesansajouterd’autres
carreaux.Letotalestdoncde340+100=440carreaux.
Calculerleprix
1carreau=30cmx30cm=0,3mx0,3m=0,09mcarrés.
1mcarré=21Euro,donc
0,09mcarrésx440=39,6mcarrésdecarrelage
Prix:39,6x21=831,6euros
4. DIFFÉRENCIATION
a. Modificationauproblèmepourlesélèvesquiéprouventdeladifficulté
Indices
Pourcesélèves,onpeutproposerunesuitedeproblèmessimplifiésenaugmentant
graduellementleniveaudedifficulté:
- Onpeutcommencerparleproblèmeprésentantunesurface«simplifiée»,par
exempleunebandede600cmpar30cm(oumêmeavecdesnombrespluspetits,
comme6cmx3cm).
-
-
-
Ensuite,présenterunrectangle600cmpar480cm(ouavecdesnombrespluspetits).
S’assurerquelesélèvescomprennentl’idéedecarrelageetl’idéedemultiplication
(sansrecoursaudécoupage).
Commedécoupage,onpourraitproposerlesdimensionspermettantladécoupeen
moitiés.
Pouréviterlaconversion,onpourradonnertoutencmouenm.
Lemêmetravailpourraêtrefaitaveclesprix.Parexemple,faireunproblèmeplus
simplequidonnelenombredecarreauxetleprixunitéetdemanderàl’élèvede
calculerlecoûttotal.
Ilestensuitepossibled’intégrercetteopérationauproblème,d’abordsansdécoupage
etensuiteavecdécoupage.
Pouraiderlesélèvesàvisualiserlecarrelage,onpeututiliserlematérielde
manipulation,oubienunefeuillequadrillée.L’animationvirtuelledecarrelagepeut
aussiaider.
b. Prolongementduproblèmepourlesélèvesdoués
Aveclesélèvesdoués,onpeut:
- investiguerunproblèmepluscomplexe,parexempleavoirunséjourcomportantplus
desegments,commeunefeuillerectangulaireavecuncarrédécoupéaumilieu.
- modifierlesnombrespouréviterunedivision«facile»(dontlaréponseestunnombre
entier).
- proposerdifférentsemballagesdecarreauxetvoirlequelseraitlepluséconomique.
- suggérerunproblèmedusiteCAMIquidemandelenombredepiècesdemonnaie
d’uncentsqu’onpeutplacersurunefeuilledupapierordinaire(standardcanadien)en
sachantqu’uncentoccupel’espacecarréde3,8cmx3,8cm.