Exercice corrigé : triangle de Pascal – formule du binôme

Exercice corrigé : triangle de Pascal – formule du binôme

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Exercice corrigé : triangle de Pascal – formule du binôme
1.Construisons le triangle de Pascal jusqu’à la ligne n=10
0
1
2
3
4
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
6
1
6
15
20
15
7
1
7
21
35
35
8
1
8
28
56
70
9
1
9
36
84
126
10
1
10
45
120
210
 8 =56
3
D’après le triangle
5
6
7
8
9
10
1
6
21
56
126
252
1
7
28
84
210
1
8
36
120
1
9
45
1
10
1
 10 =210
 4 
et
 9 =126
5
2. Développons avec la formule du binome : (3+x)4 ; (1+x)6 et (2−i)4
4
•
(3+x) =
4
∑
 4 ×34− k ×x k =34+4×33x+6×32x 2+4×3×x 3+x 4= x 4+12x 3+54x 2+108x+81
k
k=0
6
•
(1+x)6=
∑
6  6− k
1 ×x k = x 6+6x 5+15x 4+20x 3+15x 2+6x+1
k
k= 0
4
•
(2−i)4=
∑
 4 24− k ×(-i) k =24+4×23×(-i)+6×22×(-i) 2 +4×21×(-i)3+(-i)4
k 
k=0
=16+32(-i)+24×(-1)+8×i+1= -7−24i
n
3. Montrons que
∑
n k
4 =5n
k
k=0
n
∑
n
k
 n 4 =
k 
k=0
∑
 n 1n− k ×4k =(1+4)n =5n
k
k=0
Chapitre 13 : Les probabilités : formule du binôme et triangle de pascal
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