Régression non paramétrique sur l`hyper
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Régression non paramétrique sur l`hyper
Groupe de Travail des Thésards du LSTA-LPMA Jeudi 27 octobre 2011 à 14h - salle de séminaire couloir 16-26 1er étage (LPMA, Paris 7) Régression non paramétrique sur l'hyper-sphère avec design uniformément distribué Jean-Baptiste Monnier Résumé : On observe n réalisations indépendantes (Xi , Yi ) du vecteur (X, Y ) de loi inconnue tel que Y = f (X) + Z , où X est uniformément distribué sur un sous-ensemble E de Rd et Z est un bruit gaussien indépendant de X . Notre objectif consiste à estimer f de la manière la plus précise possible à partir du jeu des n observations (Xi , Yi ). Lorsque E est un sous-ensemble non-dégénéré de Rd , les méthodes traditionnelles de régression en ondelettes permettent d'obtenir un estimateur optimal de f . Malheureusement, ce n'est plus nécessairement le cas lorsque E est une sous-variété de dimension (d − 1) de Rd . Dans le cas particulier où E est l'hyper-sphère de Rd , nous montrons que les frames de needlets sont à l'hyper-sphère ce que les ondelettes sont aux espaces euclidiens. En particulier nous prouvons qu'ils permettent de transposer les méthodes bien connues d'estimation en ondelettes à l'hyper-sphère. Nous explorons un ranement de cette procédure avec needlets que nous illustrons par quelques simulations. (LSTA, Paris 6) Lois limites fonctionnelles pour le processus empirique et applications Sarah Ouadah Résumé : Considérons une suite X1 , X2 , . . . d'observations réelles, indépendantes de même loi, dénie par une densité f (· ), continue sur un ouvert J ⊆ R. L'estimateur à noyau de f (· ), dit de Parzen-Rosenblatt, est déni par n 1 X fn,h (x) := K nh i=1 x − Xi h x ∈ R, où h > 0 est la fenêtre et le Rnoyau K(· ) est une fonction à variation bornée dans R et à ∞ support compact, telle que −∞ K(t)dt = 1. Soient 0 < an ≤ bn ≤ 1, n = 1, 2, . . . deux suites de constantes positives. Fixons I = [a, b] ⊂ J et posons log+ x := log(x ∨ e), x ∈ R. Théorème 0.1 Supposons que lorsque n → ∞, les suites 0 < an ≤ bn ≤ 1 vérient bn → 0 et nan → ∞. log n Alors, pour Hn = [an , bn ], lorsque n → ∞, on a 1/2 nh sup sup ± {fn,h (x) − Efn,h (x)} − σ(f, K) = oP (1), 2 log+ (1/h) x∈I h∈Hn 1/2 R où σ(f, K) = supx∈I f (x) R K 2 (t)dt . Ce résultat est une conséquence d'une loi limite fonctionnelle pour le processus empirique uniforme. L'objet de l'exposé est de présenter des lois limites fonctionnelles et leurs applications. Ces travaux sont présentés dans Deheuvels et Ouadah (JTP :2011). Contact, ou pour recevoir le programme par e-mail : [email protected], [email protected] http ://www.lsta.upmc.fr/doct/gtt