Etude de coups francs Un joueur professionnel s`entraîne à tirer des

Activité : Etude de coups francs
Un joueur professionnel s'entraîne à tirer des coups francs au football. D'après les résultats
obtenus, on estime qu'il a 60% de chances de marquer un but.
Au cours d'un match d'entraînement, ce joueur doit tirer deux coups
francs. On souhaite évaluer la proportion de matchs où au moins un
but est marqué par son équipe.
Partie A Avec un tableur
Il s'agit de simuler l'expérience aléatoire consistant à tirer deux
coups francs, chacun avec une probabilité de 0,6 de réussir.
1) Sur tableur, faire apparaître un premier nombre aléatoire et traduire dans une autre cellule
si, à ce nombre aléatoire, est associé un but marqué ou non. Refaire de même avec un autre
nombre aléatoire puis déterminer le nombre de buts marqués à l'issue des deux simulations de
tirs.
2) Répéter cette expérience aléatoire 50 fois de façon à déterminer la fréquence de matchs où
au moins un but a été marqué.
3) En déduire, avec un risque d'erreur de 5%, la probabilité de marquer au moins un but lors
d'un match d'entraînement contenant deux coups francs pour cette équipe.
4) Quelle méthode utiliseriez vous pour améliorer l'estimation de cette probabilité ?
Partie B Vers une démonstration
Méthode utilisant le cadre géométrique
→ →
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; i , j ), K est le point de coordonnées (1;1).
On choisit au hasard x et y entre 0 et 1 et soit M le point de coordonnées (x;y).
1) Dans quel domaine du plan se trouve le point M ?
2) On considère les points A(0,6 ; 0), B(1 ; 0,6), C(0,6 ; 1), D(0 ; 0,6) et E(0,6 ; 0,6).
a) Lorsque le point M obtenu par les choix de x et y se trouve dans EDOA, quel est le
nombre de coups francs éventuellement marqué par le joueur ?
Traduire de même l'appartenance de M à d'autres zones du carré.
b) Quelle est la probabilité pour le joueur de ne marquer aucun but, au moins un but ?
Méthode utilisant un arbre de probabilité
S1 est la probabilité pour que le joueur marque le but sur le premier coup franc et S2 celle du
second coup franc.
1) Représenter par un arbre pondéré, à l'aide des événements ci-dessus et de leur contraire,
l'expérience aléatoire consistant en le tirage de deux coups francs.
2) En déduire la probabilité recherchée.