SUJET : Soit (Un), la suite définie par Uo = 3 2 1+ Un 1) Calculer les

SUJET :
Uo = 3

Soit (Un), la suite définie par 
2
U n+1 = 1+ U
n
1) Calculer les 5 premiers termes (on gardera les valeurs exactes). Que peut-on conjecturer sur la monotonie
de la suite (Un) ? (/1 point)
€
2) Soir f la fonction telle que Un+1 = f (Un ) ( on considère que Un≠-1 pour tout n )
a) Résoudre f(x)=x sur IR-{-1}
(/1 point)
b) Etudier
€ les variations de f sur IR-{-1} (on précisera les équations des asymptotes) (/3 points)
c) Tracer la représentation graphique “en chemin” de la suite (Un) après avoir tracé la courbe de f sur
[0 ; 4 ] dans un repère orthonormé (on prendra 2 cm pour 1 unité)
(/2,5 points)
d) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (Un) ?
(/0,5 point)
3) On pose Vn =
€
Un − 1
pour tout n
Un + 2
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) Exprimer pour tout n, Vn en fonction de n
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Vn) lorsque n tend vers +oo
(/1 points)
(/1 point)
(/1 point)
4) Etude de la limite de la suite (Un)
a) Exprimer Un en fonction de Vn
b) En déduire l’expression de Un en fonction de n
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Un) lorsque n tend vers +oo
source In f(x) Venenum http://www.infx.info
(/1 point)
(/1 point)
(/1 point)
Correction
Uo = 3

Soit (Un), la suite définie par 
2
U n+1 = 1+ U
n
1) Calculer les 5 premiers termes (on gardera les valeurs exactes). Que peut-on conjecturer sur la monotonie
de la suite (Un) ? (/1
€ point)
Uo = 3 , U1= 0,5 , U2 = 4 / 3 , U3 = 6 / 7 , U4 = 14 / 13 .
La suite (Un) n’est pas monotone.
2) Soir f la fonction telle que Un+1 = f (Un ) ( on considère que Un≠-1 pour tout n )
a) Résoudre f(x)=x sur IR-{-1}
2
f (x) = x ⇔
=€x
1+ x
''
(/1 point)
'' ⇔ 2 = x( x + 1) avec x ≠ −1
''
'' ⇔ x 2 + x − 2 = 0
en utilisant le discriminant on obtient x = 1 et x = -2
SIR−{−1} = { −2 ; 1 }
b) Etudier les variations de f sur IR-{-1} (on précisera les équations des asymptotes) (/3 points)
f (x) =
On a
2
2
est dérivable sur IR-{-1} et on a f '(x) = −
donc f ‘ (x) est négative.
1+ x
(1+ x)2
lim f (x) = lim f (x) = 0 donc l’axe des abscisses (y=0) est asymptote horizontale à la courbe de f.
x−>+oo
x−>−oo
On a lim f (x) = −oo et lim f (x)€= +oo donc x = -1 est l’équation de l’asymptote verticale à la courbe de f.
€
x−>−1
x<−1
x−>−1
x>−1
Le tableau de variations de f :
€
€
x
-oo
+oo
-1
ll
f ‘(x)
0
+oo
f(x)
-oo
0
source In f(x) Venenum http://www.infx.info
c) Tracer la représentation graphique “en chemin” de la suite (Un) après avoir tracé la courbe de f sur
[0 ; 4 ] dans un repère orthonormé (on prendra 2 cm pour 1 unité)
(/2,5 points)
U1
U3 U2
Uo
d) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (Un) ?
(/0,5 point)
On peut conjecturer que la suite (Un) tend vers 1 lorsque n tend vers +oo
3) On pose Vn =
Un − 1
pour tout n
Un + 2
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2
€
−1
Un+1 −1
1+ Un
Vn + 1 =
⇔ Vn + 1=
2
U n+1 + 2
+2
1+ Un
2 −1− U n
1+ U n
1− Un
⇔ Vn + 1=
⇔ Vn + 1=
2 + 2 + 2Un
4 + 2Un
1+ U n
1 Un −1
1
⇔ Vn + 1= (− )
⇔ Vn + 1= (− )Vn
2 Un + 2
2
donc (Vn) est une suite géométrique de raison - 1/2 et de premier terme Vo = 2/5.
b) Exprimer pour tout n, Vn en fonction de n
source In f(x) Venenum http://www.infx.info
(/2 points)
(/1 point)
Vn=0,4 x ( -0,5)n
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Vn) lorsque n tend vers +oo
(/1 point)
on a lim Vn = 0 car (Vn) est une suite géométrique de raison comprise entre -1 et 1
n−>+oo
€
4) Etude de la limite de la suite (Un)
a) Exprimer Un en fonction de Vn
Un − 1
Vn =
⇔ Vn(Un + 2) = Un − 1
Un + 2
"......"⇔ VnUn + 2Vn − Un = −1
"......"⇔ VnUn − Un = −1− 2Vn
"......"⇔ Un(Vn −1) = −1− 2Vn
−1 − 2Vn
"......"⇔ Un =
Vn − 1
1+ 2Vn
"......"⇔ Un =
1− Vn
(/1 point)
b) En déduire l’expression de Un en fonction de n
Un =
(/1 point)
1+ 2Vn
1+ 0,5 × (0,25)n
⇔ Un =
1− Vn
1− 0,25 × (0,25) n
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Un) lorsque n tend vers +oo
On a
€
lim (0,25) n = 0 et
n−>+oo
€
lim 0,5 × (0,25)n = 0 et
n−>+oo
€
(/1 point)
lim − 0,25 × (0,25) n = 0 donc lim Un = 1
n−>+oo
n−>+oo
€
source In f(x) Venenum http://www.infx.info