Fouad Hadj Selem

Etude théorique et numérique d’états stationnaires localisés
pour l’equation de Schrödinger non linéaire surcritique avec un
potentiel quadratique
Fouad HADJ SELEM, Université Blaise Pascal
Mots-clés : Equations de Schrödinger, Condensat de Bose Einstein, Exposant critique de Sobolev.
Le but de cet exposé est de présenter des résultats récents concernant la structure et les propriétés
des états stationnaires localisés de l’équation de Schrödinger non linéaire surcritique avec un potentiel
quadratique; qui s’écrit :
∂ψ
i
+ ∆ψ − kxk2 ψ + |ψ|2σ ψ = 0, ψ = ψ(t, x), σ > 2/(d − 2), x ∈ Rd , t > 0.
(1)
∂t
Il s’agit du modèle mathématique idéal intervenant dans la description d’un condensat de Bose-Einstein
plongé dans un champ magnétique. Ce phénomène correspond à un état particulier d’un gaz de bosons
à très basse température et a été prédit par Albert Einstein dès 1924.
Dans ce cas, il est possible de s’intéresser aux états stationnaires définis par ψ(t, x) = eiωt u(x) avec
u fonction localisée. Le problème de départ est alors ramené à la résolution d’un problème elliptique
non linéaire posé sur l’espace entier, dont on cherche les solutions radiales de la forme u(x) := U (kxk).
Contrairement au cas sans potentiel, la présence du terme correspondant au potentiel quadratique ne
permet pas d’utiliser l’identité de Pohozaev pour obtenir des conditions nécessaires à l’existence de tels
états si ω < 0. Il faut alors traiter les 3 types de non-linéarité : critique, sous-critique et surcritique.
Dans le cas surcritique, puisque les injections de Sobolev n’ont pas lieu si σ > σ ∗ := 2/(d − 2), on ne
peut pas utiliser la méthode variationnelle directement. Par conséquent, les résultats concernant ce type
de non−linéarité, ont été souvent obtenus à l’aide de méthodes fonctionnelles, notamment la théorie
des bifurcations. Néanmoins, à cause du caractère non borné de l’espace considéré, l’application de ces
méthodes dans notre cas pose beaucoup de problèmes. Dans un premier temps, on démontre l’existence de
branches bifurquées non bornées de solutions localisées en remplaant le terme non linéaire N (u) = |u|2σ u
par N 0 (u) := χk (|u|2 )|u|2σ u avec χk une fonction plateau convenablement choisie (voir [1]). Ensuite, on
construit numériquement le diagramme de bifurcation en utilisant une méthode de tir adaptée à cette
équation (voir les figures 1 et 2). Ceci nous a permis de donner des réponses optimales à des questions
ouvertes concernant l’existence, l’unicité et la stabilité des solutions stationnaires.
35
m=2.8
|u(0)|
t=tmax(2.2)
m=2.2
t=tmax(2.8)
|u(0)|
150
25
20
0
t=tmax
1
t=tmax
200
30
C1
C0
100
15
10
50
5
0
ï3
t0 ï2.8
ï2.6
ï2.4
ï2.2
ï2
ï1.8
t
Figure 1: Non-linéarité surcritique: d = 3, σ = 2.2.
t0
t1
0
ï10
ï9
ï8
ï7
ï6
ï5
t
Figure 2: Non linéarité surcritique: d = 6, σ = 1.
Références
[1] Hadjselem F., Kikuchi H., Existence and non-existence of solution for semilinear elliptic equation
with harmonic potential and Sobolev critical/supercritical nonlinearities, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 746-754, 2011.
[2] Hadjselem F., Radial solutions with prescribed numbers of zeros for the nonlinear Schrödinger
equation with harmonic potential, Nonlinearity 24, 1795-1819, 2011.
Fouad HADJ SELEM, Laboratoire de Mathématiques, Université Blaise Pascal, BP 80026, 63171 Aubière
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