Loi Moment-Courbure simplifiée en béton armé NOTE TECHNIQUE

Transcription

Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Loi Moment-Courbure simplifiée
Date
06/04/2010
'
$
Loi Moment-Courbure simplifiée en béton armé
NOTE TECHNIQUE
Sommaire
1
Objet
3
2
Références
4
3
Notations
5
4
Axe neutre, secions rectangulaires sans aciers comprimés
7
5
Axe neutre, secions rectangulaires avec aciers comprimés
9
6
Calculs des lois moments courbures
6.1 Section sans aciers comprimés .
6.1.1 Courbure élastique . . .
6.1.2 Courbure plastique . . .
6.1.3 Courbure ultime . . . .
6.2 Section avec aciers comprimés .
6.2.1 Courbure élastique . . .
6.2.2 Courbure plastique . . .
6.2.3 Courbure ultime . . . .
7
8
Exemples
7.1 Section sans aciers comprimés
7.1.1 Calcul simplifié . . . .
7.1.2 Calcul détaillé . . . .
7.2 Secion avec aciers comprimés
7.2.1 Calcul simplifié . . . .
7.2.2 Calcul détaillé . . . .
Conclusions
&
c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
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11
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Liste des figures
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Géométrie de la section sans aciers comprimés . . . . .
Déformations et contraintes dans la section . . . . . . .
Géométrie de la section avec aciers comprimés . . . . .
Déformations et contraintes dans la section . . . . . . .
Contraintes à l’état ultime . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . .
Loi moment-courbure simplifiée, sans aciers comprimés
Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés . .
Section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . .
Loi moment-courbure simplifiée, avec aciers comprimés
Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés . .
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9
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Objet
L’établiseement des lois moment-courbures pour des sections en béton armé est indispensable lorsqu’on s’intéresse au comportement non linéaire du béton armé.
Cette situation se produit plus particulièrement dans les conditions d’analyse accidentelles telles que
le séisme ou les chutes de charges.
L’objet de cette note est de présenter une méthode simplifiée pour le calcul de la loi Moment-Courbure
de sections rectangulaires en béton armé.
Les hypothèses de calcul sont les hypothèses habituelles de calcul en béton armé :
p Les sections planes restent planes pendant la flexion.
p Le béton et l’acier obéissent à la loi de Hooke.
p Les déformations sont proportionnelles à la distance à l’axe neutre.
p La résistance en traction du béton est négligée.
p Une adhérnce parfaite est supposée entre le béton et l’acier.
p les sections travaillent en flexion simple (pas de compression).
Les formules utilisées par la suite sont tirées de [1], [2] , [3] , [4].
Avant de calculer la loi moment courbure, il nous faut déterminer la position de l’axe neutre de la
section, en fonction de la géométrie de la section et des aciers en présence. Deux cas sont à considérer :
les sections sans aciers comprimés, et les sections avec aciers comprimés.
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Références
Documents généraux
[1] J.L.Tanner N.J.Everard. Reinforced Concrete Design. Schaum’s Outline Series. Schaum’s, 1987.
[2] T.Pauley M.J.N Priestley. Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings. Jhon
Willey and Sons, 1992.
[3] T.Pauley R.Park. Reinforced Concrete Structures. Jhon Willey and Sons, 1975.
[4] Andrew Whittaker. Reinforced concrete structures. CIE 525, Module 04 :pp. 1–21, 2000.
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Notations
Les notations utilisées dans les formules sont rappelées ci-aprés :
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Ag = section du béton et des aciers
As = section des aciers de tension
A’s = section des aciers de compresssion
b = largeur de la section
h = hauteur totale de la section
yg = position du centre de gravité de la section (aciers compris) par rapport à la fibre supérieure
dg = position du centre de gravité de la section (aciers compris) par rapport à la fibre inférieure
dg = h − yg
Ig = inertie de la section par rapport au centre de gravité
Cc = force de compression dans le béton
Cs = force de compression dans les aciers de compression
d = distance de la fibre la plus comprimée aux aciers inférieurs
d’ = distance de la fibre la plus comprimée aux aciers supérieurs
Ec = module d’Young du béton
Es = module d’Young de l’acier
n = coefficient d’équivalence acier/béton, Es /Ec
fc = contrainte de compression dans le béton
ft = contrainte de traction dans le béton
fs = contrainte de traction dans l’acier
fs0 = contrainte dans l’acier
fy = contrainte de plasticité de l’acier
I = moment d’inertie de la section
k = facteur permettant de localiser l’axe neutre
M = moment de flexion
φ = courbure
ρ = ratio d’aciers de traction, As /bd
ρ0 = ration d’aciers de compression, A0s /bd
y = limite de déformation plastique de l’acier (1 % par exemple)
cmax = limite de déformation plastique du béton ( 0.35 % par exemple)
c = postion de l’axe neutre en état de courbure ultime ultime (déformation maximale de la fibre
supérieure).
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• λ = coefficient de réduction du diagramme de compression du béton (0.80)
• fck = résistance caractéristique du béton à 28 jours (par exemple 25 MPa pour un béton de classe
C25/30)
• fcm = résistance moyenne du béton à 28 jours (fcm = fck + 8M P a
• fcd = résistance de calcul du béton (fcd = αcc fck /γc ) avec αcc = 1.0 pour les bâtiments et 0.85 pour
les ponts et γc = 1.2 en cas accidentel et 1.5 pour les autres cas.
• fcu = résistance en compression du diagramme rectangulaire (fcu = ηfcd ) avec η=1.0
• fctm = résistance en traction du béton (selon Eurocode 2, fctm = 0.3[fck ]2/3 (2.6 MPa pour un béton
de classe C25/30)
cm 2/3
) (31000 MPa
• Ecm = module d’Young moyen du béton (selon Eurocode 2, Ecm = 22000( f10
pour un béton de classe C25/30)
• Ec = 1.05Ecm = module tangent du béton pour le calcul des déformations.
• fyk = limite élastique de l’acier selon Eurocode 2 = fs de çi-dessus
f
• fyd = résistance de calcul de l’acier (fyd = γyks ) et γs =1.0 en situation accidentelle et 1.15 dans les
autres cas.
f
• s1 = limite de déformation élastique de l’acier (s1 = Eyds )
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Axe neutre, secions rectangulaires sans aciers comprimés
La géométrie de la section en béton armé sans aciers de compression est représentée ci-dessous.
b
kd
Axe neutre
d
As
F IGURE 1 – Géométrie de la section sans aciers comprimés
Le dessin ci-dessous idéalise une section rectangulaire travaillant en flexion.
εc
fc
kd/3
C
kd
Axe
d
Neutre
jd
T
εs
fs /n
F IGURE 2 – Déformations et contraintes dans la section
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L’équilibre des efforts donne : C = T soit :
1
fc kdb = As fs
(1)
2
En appelant jd la distance entre le centre de compression et le centre des armatures inférieures, les
moments ont respectivement pour valeurs :
1
Mc = Cjd = fc kd2 bj
2
et
Ms = As fs jd
(2)
ou j = 1 − k3 , de sorte que pour évaluer le moment, la
D’aprés la figure, on voit que jd = d − kd
3
valeur de k doir être déterminée.
Si on appelle Es et Ec les modules d’élasticité du béton et de l’acier, on a :
c
kd
=
s
d − kd
(3)
fc /ec
kd
k
=
=
fs /es
d − kd
1−k
(4)
ou encore,
et si on pose n =
Es
Ec
on obtient n ffsc =
k
k−1
d’ou l’on tire :
fs k
n(1−k)
fc =
et fs =
nfc (1−k)
k
et
nfc = fs k + nfs k = k(nfc + fs ) ou encore k =
En posant ρ le ration d’acier ρ =
As
,
bd
nfc
nfc +fs
=
1
1+fs /nfc
alors l’équation (1) devient 12 fc kdb = ρbdfs ou :
fc
2ρ
=
fs
k
(5)
k 2 + 2ρnk = 2ρn
(6)
En substituant (4) dans (5) on obtient :
et
k=
p
2ρn + (ρn)2 − ρn
(7)
Cette valeur de k permet de déterminer la position de l’axe neutre pour une section sans aciers comprimés.
Le moment résistant en flexion vaut alors My = As fs jd = As fs (1 − k/3)d
Ce résultat sera utilisé par la suite pour le calcul des contraintes et déformations.
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Axe neutre, secions rectangulaires avec aciers comprimés
La géométrie de la section en béton armé sans aciers de compression est représentée ci-dessous.
b
d'
kd
A's
Axe neutre
d
As
F IGURE 3 – Géométrie de la section avec aciers comprimés
Le dessin ci-dessous idéalise une section rectangulaire travaillant en flexion.
εc
kd
ε's
fc
d'
kd/3
C
Cc
Axe
Z C's
d
Neutre
jd
T
εs
fs /n
F IGURE 4 – Déformations et contraintes dans la section
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On a, comme dans le cas de la section ne comportant que des aciers de traction :
k=
1
1+fs /nfc
Si on désigne par fs0 la contrainte de compression dans les aciers comprimés, alors
utuilisant la relation générale E = f , alors
0s
s
=
kd−d0
,
d−kd
et en
kd − d0
fs0 /Es
=
fs /Es
d − kd
(8)
fs (kd − d0 )
d − kd
(9)
ou encore
fs0 =
de même,
0s
c
=
kd−d0
kd
ou
fs0 /Es
fc /Ec
=
kd−d0
kd
et utilisant n =
es
,
Ec
0
on obtient fs0 = nfc kd−d
kd
L’équilibtre des forces donne T = C = Cs0 + Cc , C 0 s étant la force de compression dans les aciers
comprimés et Cc étant la force de compression dans le béton. On a alors :
1
fc kbd + +A0s fs0 = fs As
(10)
2
Il faudrait en toute rigueur soustraire de la section de béton comprimé la section des aciers comprimés.
En substituant (10) dans (9), et en posant ρ = As /bd et ρ0 = A0s /bd, on obtient :
1
kd − d0
fc kbd + ρ0 bdfs
= fs ρbd
2
d − kd
(11)
fc
2
kd − d0
= [ρ − ρ0
]
fs
k
d − kd
(12)
fc
k
=
fs
n(1 − k)
(13)
ou encore
et avec
en égalant
fc
fs
de (12) et (13), on obtient
r
d0
2n(ρ + ρ0 ) + n2 (ρ + ρ0 )2 − n(ρ + ρ0 )
d
la distance z est obtenue en faisant la somme des moments :
k 3 d/3 + 2nρ0 d0 (k − d0 /d)
z=
k 2 + 2nρ0 (k − d0 /d)
k=
(14)
(15)
et jd = d − z
le moment résistant en compression vaut Mc = Cjd = (Cc + Cs0 )jd ou Mc = jd( 21 fc kbd + fs0 ρ0 bd),
et en rempalçant la valeur de fs0 calculée ci-dessus, Mc = 12 fc jbd2 [k + 2nρ0 (1 − d0 /kd)]
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6
6.1
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Calculs des lois moments courbures
Section sans aciers comprimés
Le caclul de la loi moment-courbure va utiliser des résultats précédents.
6.1.1
Courbure élastique
Avant de se trouver dans un état non linéaire, la section est dans un état linéaire, c’est à dire que la
partie du béton en traction résiste encore.
La fissuration commencera lorsque la résistance en traction en partie inférieure sera atteinte. en admettant que la rotation de la section a lieu autour de l’axe neutre, le moment limite élastique a pour
expression :
Me =
ft Ig
dg
(16)
Ig est l’inertie de la section par rapport à son centre de gravité, calculée en tenant compte de la section
du béton et de la section des aciers.
dg est la distance entre la face inférieure de la section et le centre de gravité.
Ag étant la section totale (acier et béton), on a :
Ag = bh + (n − 1)(As + A0s )
(17)
La distance de la fibre inférieure par rapport au centre de gravité vaut dg = h − yg , yg étant la distance
du centre de gravité à la fibre supérieure, calculé en prenant les moments des sections par rapport à la
fibre supérieure :
yg =
bh h2 + As (n − 1)d + A0s (n − 1)d0
Ag
(18)
Linertie par rapport au centre de gravité vaut :
Ig =
bh3
h
+ bh( − yg )2 + (n − 1)As (d − yg )2 + (n − 1)A0s (yg − d0 )2
12
2
(19)
La courbure élastique correspondante sera :
φe =
&
ft
Me
=
Ec Ig
Ec dg
(20)
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6.1.2
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Courbure plastique
Aprés dépassement de la limite élastique en traction sur la fibre inférieure, la partie comprimée au
dessus de l’axe neutre reprend les efforts de compression et les aciers inférieurs reprennent la traction,
jusqu’à leur limite de déformation plastique. On désignera alors le moment limite par le moment
plastique et la courbure correspondante par la courbure plastique.
Le moment correspondant à cette déformation plastique vaut :
My = As fs jd = As fs (1 − k/3)d
(21)
En utilisant la valeur de k calculée par (7). La courbure plastique correspondante est calculée par :
φy =
&
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y
d − kd
(22)
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6.1.3
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Courbure ultime
On définit la courbure ultime comme correspondant à la limite de résistance du béton en déformacion
(cmax )
En admettant un diagramme des contraintes dans le béton rectangulaire, le dessin ci-dessous représente
l’état des contraintes dans la section :
εc max
ηfc
λc
c
Axe
d
Neutre
φu
fy
εy
déformations
contraintes
F IGURE 5 – Contraintes à l’état ultime
On rappelle que
fc = fcd = αcc fγckc (voir le paragraphe 3)
La position de l’axe neutre est alors déterminée par la relation :
c=
As fy
ηfc bλ
(23)
Le moment ultime correspondant a pour valeur
Mu = As fy (d −
λc
)
2
(24)
On retient en général (voir Eurocode 2) η = 1.0 et λ = 0.80
La courbure ultime correspondante vaut :
φu =
cmax
c
(25)
Les trois points ainsi définis (Me , φe ; My , φy ; Mu , φu ) permettent de définir la courbe moment courbure de la section.
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6.2
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Section avec aciers comprimés
6.2.1
Courbure élastique
La méthode est identique à celle du paragraphe 6.1.1. On obtient alors φe et Me (voir les formules (16)
et (20) )
6.2.2
Courbure plastique
On va utiliser cette fois des résultats du paragraphe 5. Le principe est le même que dans le paragraphe
6.1.2, mais il faut tenir compte des aciers comprimés pour la position de l’axe neutre et de leur état de
déformation.
Le coefficient k est obtenu par la formule (14) du paragraphe 5
le moment My est obtenu par la relation
My = As fy (d −
kd
kd
+ A0s fs0 (d0 − )
3
3
(26)
La contrainte dans les aciers de compression fs0 est fonction de la distance kd. Si la contrainte dans
les aciers de traction vaut fy , alors la contrainte dans les aciers de compression peut se calculer par la
formule
fs0 =
kd − d0
fy
d − kd
(27)
La courbure φy se calcule alors comme en (22)
6.2.3
Courbure ultime
Le calcul du couple φu , Mu nécessite dans ce cas quelques itérations : en effet, on ne connaît pas l’état
de déformation des aciers en compression.
Un premier calcul consiste à considérer par exemple que les aciers comprimés ont atteint la limite
élastique de l’acier fy . La position de l’axe neutre s’en déduit par la relation
c=
As fy − A0s fs0
ηfc bλ
(28)
On calcule ensuite la déformation des aciers comprimés par la relation
0s = cmax
et on compare cette valeur à y =
compatibles.
&
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Es
.
fs
c − d0
c
(29)
On continue les itérations jusqu’à obtenir des valeurs de 0s et fs0
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Le moment ultime et la courbure ultime sont obtenus par les relations
Mu = ηfc λcb(d −
φu =
&
λc
) + A0s fs0 (d − d0 )
2
(30)
cmax
c
(31)
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7
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Exemples
7.1
Section sans aciers comprimés
7.1.1
Calcul simplifié
Le dessin ci-dessous représente la section étudiée. Les dimensions sont en mm.
50
560
3φ20
380
F IGURE 6 – Section sans aciers comprimés
Les caractéristiques retenues pour le béton et l’acier sont les suivantes :
•
•
•
•
•
•
•
•
fck = 25 Mpa
ft = 2.6 MPa
fyk = 500 MPa
γb = 1.2
γc = 1.0
Es = 200000 MPa
Ecm = 31000 MPa
αcc = 1.0, λ = 1.0, η = 1.0
Les données ci-dessus permettent de calculer les valeurs suivantes :
d = 51cm As = 9.42cm2 (section des aciers tendus)
Ac = 2128cm2 (section brute de béton)
Ag = 2128 + 48.4 = 2176cm2 (formule (17))
yg = 59584+246
= 28.5cm (formule (18)
2176
Ig = 581161cm4 (inertie section de béton armé) (formule (19)
Ec = 32550M P a (module d’Young du béton pour le calcul des déformations)
s
n= E
= 6.14
Ec
&
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%
Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Date
06/04/2010
'
$
As
bd
ρ=
= 0.00486
k = 0.216 (formule (7) du paragraphe 4)
c
= 0.0025
y = fyEk/γ
s
Le calcul des points caractéristiques de la loi moment courbure s’ensuit. On obtient, en utilisant les
formules du paragraphe 6.1
• moments et courbure élastique Me = 54972N.m et φe = 2.900e−4 m−1 (formules (16) et (20))
• moments et courbure plastique My = 222914N.m et φy = 6.25e−3 m−1 (formules (21) et (22))
• moments et courbure limite Mu = 228773N.m et φu = 6.12e−2 m−1 (formules (24) et (25))
La courbe correspondante est représentée ci-dessous :
25
·104
Moment (N.m)
20
15
10
5
courbure (m−1 )
·10−3
60
50
40
30
20
10
0
0
F IGURE 7 – Loi moment-courbure simplifiée, sans aciers comprimés
&
%
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Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Date
06/04/2010
'
7.1.2
$
Calcul détaillé
A titre de comparaison, Un calcul détaillé avec un logiciel spécialisé permettant de calculer la loi
moment courbure de manière itérative, en prenant en compte les lois de comportement non linéaires
du béton et de l’acier a permis d’obtenir la courbe ci-dessous.
vendredi 9 avril 2010 13:51:30
Ph.Maurel-01/2006
240000
version: samson-V1.0
'courbe.dat'
Moment(N.m)
220000
200000
h=5.600e-001
180000
b=3.800e-001
e_inf=5.000e-002
a_inf=9.420e-004
160000
e_sup=5.000e-002
a_sup=0.000e+000
fc=2.500e+007
140000
fy=5.000e+008
120000
100000
80000
60000
40000
Résultats 'Loi Moment-Courbure'
Courbure(m-1)
20000
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
F IGURE 8 – Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés
On voit que la courbe obtenue est trés proche de celle obtenue par le calcul simplifié. On constate
dans les deux cas que le palier de ductilité est presque horizontal entre 0.6% et 6% pour une valeur du
moment compris entre 223000 N.m et 229000 N.m
&
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%
Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Date
06/04/2010
'
7.2
$
Secion avec aciers comprimés
7.2.1
Calcul simplifié
50
Le dessin ci-dessous représente la section étudiée.
2φ20
50
560
3 φ20
380
F IGURE 9 – Section avec aciers comprimés
Les caractéristiques retenues pour le béton et l’acier sont les mêmes que dans l’exemple précédent
Les données ci-dessus permettent de calculer les valeurs suivantes :
d = 51cm As = 9.42cm2 (section des aciers tendus)
A0s = 6.28cm2 (section des aciers comprimés)
Ac = 2128cm2 (section brute de béton)
Ag = 2128 + 48.4 + 32.3 = 2208cm2 (formule (17))
= 27.2cm (formule (18)
yg = 59584+246+161
2208
4
Ig = 581161cm (inertie section de béton armé) (formule (19)
Ec = 32550M P a (module d’Young du béton pour le calcul des déformations)
s
n= E
= 6.14
Ec
As
ρ = bd = 0.00486
0
ρ0 = Abds = 0.00324
k = 0.2073 (formule (14) du paragraphe 5)
c
y = fyEk/γ
= 0.0025
s
Le calcul des points caractéristiques de la loi moment courbure s’ensuit. On obtient, en utilisant les
formules du paragraphe ??
• moments et courbure élastique Me = 55940N.m et φe = 2.870e−4 m−1 (formules (16) et (20))
• moments et courbure plastique My = 223000N.m et φy = 6.18e−3 m−1 (formules (26) et (22))
• moments et courbure limite Mu = 226800N.m et φu = 5.92e−2 m−1 (formules (30) et (31))
&
%
Page : 19/ 22
Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Date
06/04/2010
'
$
La courbe correspondante est représentée ci-dessous :
·104
Moment (N.m)
20
15
10
5
courbure (m−1 )
·10−3
60
50
40
30
20
10
0
0
F IGURE 10 – Loi moment-courbure simplifiée, avec aciers comprimés
Ces résultats montrent que la section avec aciers comprimés est légèrement moins ductile que la section avec comprimés.
&
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%
Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Date
06/04/2010
'
7.2.2
$
Calcul détaillé
A titre de comparaison, Un calcul détaillé avec un logiciel spécialisé permettant de calculer la loi
moment courbure de manière itérative, en prenant en compte les lois de comportement non linéaires
du béton et de l’acier a permis d’obtenir la courbe ci-dessous.
vendredi 9 avril 2010 14:50:01
Ph.Maurel-01/2006
240000
version: samson-V1.0
'courbe.dat'
Moment(N.m)
220000
200000
h=5.600e-001
180000
b=3.800e-001
e_inf=5.000e-002
a_inf=9.420e-004
160000
e_sup=5.000e-002
a_sup=6.280e-004
fc=2.500e+007
140000
fy=5.000e+008
120000
100000
80000
60000
40000
Résultats 'Loi Moment-Courbure'
Courbure(m-1)
20000
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
F IGURE 11 – Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés
On voit à nouveau, que la courbe obtenue est trés proche de celle obtenue par le calcul simplifié. On
constate dans les deux cas que le palier de ductilité est presque horizontal entre 0.6% et 6% pour une
valeur du moment compris entre 223000 N.m et 226000 N.m
&
%
Page : 21/ 22
Rédacteur
Philippe Maurel
Note Technique
Date
06/04/2010
'
8
$
Conclusions
Cette note a permis de rappeler la théorie simplifiée associée au calcul des lois moment-courbure pour
des sections en béton armé rectangulaires comprenant ou non des aciers de compression.
Les exemples forunis permettent de comprendre le fonctionnement de la théorie simplifiée, et de la
valider par rapport à des calculs itératifs détaillés, prenant en compte le comportement non linéaire du
béton et de l’acier.
L’intérêt de la méthode simplifiée, est de permettre, nn modifiant lègèrement les équations, de prendre
en compte le confinement du béton, ce qui permet d’augmenter sensiblement la ductilité.
e
&
Page : 22/ 22
Fin de la note
e
%

Loi Moment-Courbure simplifiée en béton armé NOTE TECHNIQUE

Transcription

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