Ethan Frome - Institut des Actuaires

PROCESSUS DE POISSON MELANGE ET FORMULES UNIFIEES
POUR SYSTEMES BONUS-MALUS
J.F. WALHIN*y
J. PARIS*
* Université Catholique de Louvain, Belgique
y Le Mans Assurances, Belgique
RÉSUMÉ
Nous proposons une méthodologie générale pour construire un système bonus-malus
équilibré basé sur une fonction de perte exponentielle. Ce travail englobe les travaux sur le
sujet et en simplifie les écritures.
MOTS-CLÉS
Processus de comptage, Poisson mélange, fonction de perte exponentielle, système
bonus-malus.
1.
INTRODUCTION - LE PROCESSUS DE COMPTAGE
L'introduction d'un système bonus-malus en assurance RC auto se justifie
principalement par le fait que le nombre N(t) de sinistres déclarés par un assuré dans
l'intervalle (0,t] ne suit pas une loi de Poisson simple. Cela conduit naturellement à traduire
la diversité des assurés en supposant que N(t) suit une loi de Poisson mélange caractérisée
par
∞
Π (n, t ) = P ( N (t ) = n) = ∫ e −λt
0
( λt ) n
dU (λ ) .
n!
Généralement on fait choix de la fonction U pour trouver la loi de N(t). Lemaire
(1979) a choisi la loi gamma pour U, ce qui conduit à la loi binomiale négative pour N(t).
Morillo et Bermudez (1999) ont choisi la loi inverse gaussienne pour U, ce qui conduit à la
loi Poisson inverse gaussienne pour N(t).
Ces choix se justifient plus pour des raisons de facilité mathématique que pour des
raisons objectives liées aux observations. En effet, l'observation porte sur le nombre de
sinistres déclarés sur une période de temps (l'année en pratique). Comme la fréquence est
faible, le nombre de degrés de liberté est peu élevé, ce qui rend difficile la distinction entre
BULLETIN FRANÇAIS D’ACTUARIAT, Vol. 3, N° 6, 1999, pp. 35-43
J.F. WALHIN & J. PARIS
36
les modèles. Les deux choix particuliers indiqués plus haut appartiennent en réalité à la
même famille obtenue en choisissant pour U une fonction de répartition infiniment
divisible. Ceci se traduit de manière équivalente par une expression simple pour Π(n, t) :
n
Π(n, t) = (−1)n t Π (n)(0, t)
n!
où
Π(0, t) = e
−θ(t)
θ(t) ≥ 0
θ(0) = 0
d θ(t) complètement monotone.
dt
Un choix intéressant pour la fonction θ′(t) est celui fait par Hofmann (1955) et
utilisé par Kestemont et Paris (1985) :
θ′(t) =
p
(1 + ct)
a
p > 0,
c > 0,
a ≥ 0.
Par intégration, on trouve
θ(t) = pt si a=0
θ(t) =
θ(t) =
p
c
ln(1 + ct) si a=1
p
 (1 + ct)1− a − 1 ailleurs.

c(1 − a) 
Les cas particuliers sont : a=0 (Poisson) ; a=0.5 (Poisson Inverse Gaussienne) ; a=1
(Binomiale Négative) ; a=2 (Polya-Aeppli) ; a → ∞ , c → 0 , ac → b (Neymann Type
A).
Dans les problèmes d'assurance, il est naturel de supposer
lim Π(0, t) = 0
t →∞
PROCESSUS DE POISSON MELANGE ET FORMULES UNIFIEES
POUR SYSTEMES BONUS-MALUS
37
ce qui limite le choix possible à la sous-famille pour laquelle 0 ≤ a ≤ 1 .
Par ailleurs le choix le plus général montre qu'une fonction complètement monotone
ne diffère d'une autre que par une constante. Dans le cas de la famille Hofmann, on prend
donc
θ′étendu(t) = δ + θ′(t) .
Ceci indique que le processus N(t) le plus général est la somme de deux processus
indépendants. Le premier est un processus de Poisson simple, de paramètre δ , qui
correspond aux sinistres purement fortuits, le second est un processus de Hofmann et
correspond aux sinistres liés au comportement du conducteur.
Dans le cas étendu, il est facile de montrer que la loi de probabilité s'écrit :
f N(t)(0) = e−θ(t) − δt

pt
f N(t)(1) =  δt +
a

(1 + ct)

 − θ(t) − δt
e



pt
f N(t)(x) = 1  δt +
a

x
(1 + c )

f
(x − 1) +
 N(t)

i −1
1  ct 


a ∑
x(1 + ct) i = 2 (i − 1)! 1 + ct 
pt
x
Γ(a + i − 1)
Γ(a)
f N(t)(x − i) ,
x ≥ 2.
Dans le cas de la loi Binomiale Négative sans composante Poissonienne, la densité
est donnée de manière explicite.
Dans le cas de la loi Poisson Inverse Gaussienne sans composante Poissonienne, la
densité est donnée sous forme d'une récursion du 2ème ordre.
L'utilisation de ces processus Poisson mélange a déjà été décrite dans Walhin et
Paris (1999) pour la construction de systèmes bonus-malus.
Par la suite, nous aurons besoin de la propriété suivante :
Pour la classe des processus de Poisson mélange, la distribution de la fréquence
conditionnellement à l'historique sinistre ne dépend que du nombre de sinistres.
En effet
J.F. WALHIN & J. PARIS
38
dU(λ N(t) − N(t − 1) = kt, K , N(1) − N(0) = k1)
=
P  N (t ) − N (t − 1) = kt ,..., N (1) − N (0) = k1 λ dU (λ )
P [ N (t ) − N (t − 1) = kt ,..., N (1) − N (0) = k1 ]
e−λt (λt)k
=
k∗
∞e
∫0
=
e
− λt
(λt)k
k∗
−λ t
dU(λ)
k
(λt) dU(λ)
∞ − λt
k
∫0 e (λt) dU(λ)
e−λt (λt)k
=
dU(λ)
k!
∞e
∫0
− λt
dU(λ)
(λt)k
k!
dU(λ)
= dU(λ N(t) = k)
t
avec ∑ k j = k
j =1
t
∗
∏kj = k .
j =1
Cette propriété n’est pas utilisée dans les systèmes bonus-malus avec un nombre
limité de classes et ceci explique en partie pourquoi ces derniers sont en déséquilibre.
A l'avenir, nous travaillerons donc avec la fonction de distribution a posteriori
dU(λ N(t) = k) .
2.
SYSTÈME BONUS-MALUS ET FONCTION DE PERTE
La construction d'un système bonus-malus avec une fonction de perte a été décrite
dans Lemaire (1979) et est utilisée dans Morillo et Bermudez (1999).
La motivation pour l'introduction d'un tel système bonus-malus est la suivante.
La construction classique est basée sur le principe de l’espérance :
λt +1 (k ) = E (Λ N (t ) = k )
PROCESSUS DE POISSON MELANGE ET FORMULES UNIFIEES
POUR SYSTEMES BONUS-MALUS
39
qui est en fait l'intensité conditionnelle du processus.
Cette dernière provient de la minimisation de la fonction de perte quadratique
2
∞
∫0 (λ − λt +1(k) ) dU(λ N(t) = k) .
Comme le fait remarquer Lemaire (1979), cette méthode traite les mali et les boni de
manière symétrique pour la classe des assurés ayant déclaré k sinistres en t années. Si la
compagnie d'assurance souhaite maintenir un niveau élevé de solidarité parmi ses assurés,
elle doit utiliser une méthode qui pondère les mali et boni différemment.
Choisissons une fonction de perte exponentielle :
∞  −γ(λ − λt +1(k))
− 1  dU(λ N(t) = k) .
∫0 1  e

γ
Une telle fonction de perte nous permet d'indexer nos préférences vis-à-vis des boni
et mali à attribuer. Par exemple si γ=0.25, deux polices avec une sous-tarification de 0.02
compensent une police avec une sur-tarification de 0.04 tandis que avec γ=25 il faut 4
polices avec sous-tarification de 0.02 pour compenser une police avec sur-tarification de
0.04. Cette dernière situation représente donc une plus grande solidarité entre assurés.
Une solution n’est possible au problème de minimisation
−γ(λ − λt +1(k))
∞
min ∫ 1  e
− 1  dU(λ N(t) = k)
λt +1(k) 0 γ 

que si λt +1(k) est contraint.
La contrainte naturelle est celle qui assure l'équilibre financier du système :
E λt +1 ( N (t )) = E Λ .
La solution de ce problème de minimisation sous contrainte est donnée par Lemaire
(1979) au moyen du Lagrangien et de manière plus élégante par Morillo et Bermudez
(1999) au moyen de l'inégalité de Jensen.
La solution s’écrit :
1
λt +1 (k ) = E Λ + E ln E (e −γΛ N (t )) − ln E (e−γΛ N (t ) = k )  .

γ
J.F. WALHIN & J. PARIS
40
Quelques lignes d'algèbre permettent de réécrire cette expression comme
 t N (t ) Π ( N (t ), t + γ ) 
 t k Π (k , t + γ ) 
1
)
)
λt +1 (k ) = E Λ + E ln (
 − ln (
 .
γ
Π ( N (t ), t ) 
Π (k , t ) 
 t+γ
 t+γ
La prime sera exprimée sous la forme d'un pourcentage, en référence à la prime a
priori, E Λ . Ce pourcentage est :
Pt +1 (k ) = 100 +
3.
 t N (t ) Π ( N (t ), t + γ ) 
 t k Π (k , t + γ ) 
100 1 
)
)
 − ln (
 .
E ln (
Π ( N (t ), t ) 
Π (k , t ) 
EΛ γ
 t+γ
 t+γ
APPLICATIONS NUMÉRIQUES
Dans cette section, nous reprenons le portefeuille utilisé par Morillo et Bermudez
(1999) et nous l'ajustons suivant une binomiale négative, une Poisson Inverse Gaussienne et
une loi de Hofmann. L'ajustement Binomiale Négative avec une composante Poisson
simple est également donné.
Nombre de sinistres
Obs
BN
PIG
Hof
BN + Po
0
122628
122781
122641
122620
122623
1
21686
21258
21656
21725
21705
2
4014
4295
3995
3945
3955
3
832
909
881
874
892
4
224
197
222
226
225
5
68
43
61
65
60
6
17
10
18
20
16
7
7
2
5
6
5
8
l
7
1
-87304.81
2
-87269.49
2
-87268.66
2
-87272.37
68.46
9.67
8.31
13.79
ddl
4
5
4
4
δ
0
0
0
0.0695
p
0.2249
0.2249
0.2249
0.1554
c
0.2937
0.6255
0.6982
0.4468
a
1
0.5
0.4522
1
χ
2
PROCESSUS DE POISSON MELANGE ET FORMULES UNIFIEES
POUR SYSTEMES BONUS-MALUS
41
Nous sommes en mesure de construire les tables suivantes (Pt +1(k)) :
1.
Binomiale Négative
γ=0.25
Espérance
t/k
0
1
2
3
0
1
γ=2.5
2
3
0
1
γ=25
2
3
0
1
2
3
1
77
169 216 353 78
176 274 372 82
162 242 322 92
126 160 194
2
62
137 212 287 64
144 225 305 70
137 205 272 86
117 148 179
3
53
116 178 241 54
122 190 258 60
119 178 236 81
109 137 166
4
45
100 154 208 47
106 165 224 53
105 157 209 76
103 129 155
5
40
88
136 183 41
94
146 198 48
94
141 187 72
97
121 146
10
25
55
85
59
92
62
92
77
95
115 26
125 32
123 58
114
Poisson Inverse Gaussienne
2.
γ=0.25
Espérance
t/k
0
1
2
3
0
1
γ=2.5
2
3
0
1
γ=25
2
3
0
1
2
3
1
78
155 270 406 79
161 285 432 85
145 234 339 95
116 145 179
2
67
122 202 299 68
128 216 321 75
122 190 271 90
109 134 164
3
59
102 164 238 60
107 175 257 67
106 161 227 86
103 125 152
4
53
89
139 198 54
93
149 215 62
95
141 196 83
98
118 142
5
49
79
121 171 50
83
130 185 57
86
125 173 80
94
112 134
10
37
54
77
57
82
61
84
78
91
3.
104 38
112 43
117 67
106
Binomiale Négative + Poisson
γ=0.25
Espérance
t/k
0
1
2
3
0
1
γ=2.5
2
3
0
1
γ=25
2
3
0
1
2
3
1
79
160 304 459 80
159 292 434 86
140 237 348 96
110 135 170
2
68
122 224 343 69
123 220 331 76
116 190 280 93
104 125 155
3
61
100 176 272 62
102 176 266 70
100 158 233 90
99
117 143
4
57
86
145 224 57
88
146 222 65
89
136 199 87
95
110 133
5
53
76
123 190 53
78
125 189 61
81
119 174 85
92
105 125
10
45
55
73
55
75
59
77
79
86
105 44
107 50
105 75
98
On voit immédiatement apparaître la solidarité croissante entre assurés lorsque le γ
augmente.
J.F. WALHIN & J. PARIS
42
CONCLUSION
Nous avons revu l'intérêt d'utiliser des processus de comptage pour la construction
de systèmes bonus-malus.
L'aspect Poisson mélange de ces processus permet d'obtenir des écritures compactes
pour les formules de systèmes bonus-malus, même lorsqu’elles sont obtenues au moyen de
fonctions de perte exponentielle.
En particulier le processus de Hofmann englobe la Binomiale Négative et la Poisson
Inverse Gaussienne. Les écritures sont simplifiées dans ce dernier cas. En particulier, il
n’est pas nécessaire de faire appel aux fonctions de Bessel de troisième type.
De plus, le choix du paramètre a du processus de Hofmann permet d'utiliser une
gamme d'hétérogénéité dans la construction du système bonus-malus. Le cas a=0, pour
lequel on retrouve le processus de Poisson amène un système bonus-malus neutre. Le cas
a=1, Binomiale Négative, entraîne une tension importante au sein des primes du système
bonus-malus.
Enfin, nous avons vu que l'actuaire dispose d'un autre outil pour faire varier boni et
mali, tout en gardant un système équilibré : il s'agit du paramètre gamma de la fonction de
perte exponentielle. Le choix de ce dernier, combiné au choix de la loi de comptage, permet
à la compagnie de construire un système bonus-malus correspondant au niveau de solidarité
qu’elle souhaite maintenir au sein de son portefeuille.
RÉFÉRENCES
HOFMANN, M. (1955). Über zusammengesetzte Poisson-Prozesse un ihre Anwendungen in
der Unfallversicherung. Bulletin of the Swiss Actuaries, 55 : 499-575.
KESTEMONT, R.M. and PARIS, J. (1985). Sur l’Ajustement du Nombre de Sinistres.
Bulletin of the Swiss Actuaries, 85 : 157-164.
LEMAIRE, J. (1979). How to Define a Bonus-Malus System with an Exponential Utility
Function. Astin Bulletin, 19 : 274-282.
MORILLO, I and BERMUDEZ, L. (1999). An Optimal Bonus-Malus System. Papers
presented at the third congress on Insurance : Mathematics and Economics, 6.
WALHIN, J.F. and PARIS, J. (1999). Using Mixed Poisson Distributions in Connection
with Bonus-Malus Systems. Astin Bulletin, 29 : 81-99.
PROCESSUS DE POISSON MELANGE ET FORMULES UNIFIEES
POUR SYSTEMES BONUS-MALUS
Jean-François WALHIN*y
José PARIS*
*
Institut de Statistique
Voie du Roman Pays, 20
B-1348 Louvain-la-Neuve
Belgique
e-mail : [email protected]
y
Le Mans Assurances
Avenue Louise, 222
B-1050 Bruxelles
Belgique
43