1 Notions de diviseurs et multiples

Q1 – PGCD (cours + exercices)
PGCD
Notions de diviseurs et multiples
Définition : On dit que est un diviseur de si le reste de la division euclidienne de par est égale à 0. On dit aussi que est un multiple de .
Exemple:
6 × 7 = 42
6et7sontdesdiviseursde42
et
42estunmultiplede6etde7
Exercices d’application
Exercice 1 : Déterminer dans chacune des opérations suivantes, quel est le multiple et
quel est le diviseur.
)25 × 2 = 50
)4 × 16 = 64
)48 ÷ 8 = 6
56
=4
14
")7 × 11 = 77
!)
Exercice 2 : Vrai ou Faux. Justifier vos réponses
)8estundiviseurde192
')9estdivisiblepar27
)65estunmultiplede9
()42estunmultiplede6
)4estdivisiblepar8
ℎ)5estundiviseurde25
!)18estdivisiblepar6
*)52estdivisiblepar13
")3estunmultiplede18
+)64estundiviseurde8
Exercice 3 : Déterminer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 10.
Méthode :
Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8)
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est
divisible par 4
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0
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1
Q1 – PGCD (cours + exercices)
2
3
4
5
6
9
10
63
147
4 212
2 584
6 755
5 813
1 460
177
Nombres premiers
Définition 1 : On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même.
Exemple: 7estunnombrepremiercar7estuniquementdivisiblepar1etpar7
Définition 2 : On dit que deux nombres premiers entre eux lorsque leur plus grand
diviseur commun est égal à 1.
Exemple:
Lesnombres18et11sontpremiersenbtreeux.
En effet :
- les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18
- les diviseurs de 11 sont : 1, 11
Le plus grand diviseur qu’ils aient en commun est 1.
Contre-exemple :
Les nombres 18 et 12 ne sont pas premiers entre eux. Pourquoi ?
- les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18
- les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Le plus grand diviseur qu’ils aient en commun est 6 (≠ 1).
Exercices d’application
Exercice 4 : Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants et déduisez-en s’ils sont
premiers ou non.
a) 35
b) 41
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c) 292
d) 139
e) 16
f) 39
g) 461
2
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Exercice 5 : Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
a) 15 et 33
b) 67 et 13
c) 40 et 28
d) 147 et 12
Fractions irréductibles
Définition ∶ Onditquelafraction estirréductiblelorsqueetsontpremiersentre
eux.
Exemple:
13
estunefractionirréductible.
17
Méthode :
On obtient une fraction irréductible lorsque l’on divise le numérateur et le
dénominateur par leur plus grand diviseur commun.
Exercices d’application
Exercice 6 : Déterminer la fraction irréductible des fractions suivantes.
)
48
18
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)
243
15
)
130
78
3
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4
CORRECTION
Exercice 1 :
)25 × 2 = 50
25 et 2 sont les diviseurs de 50
50 est le multiple de 25 et 2
)48 ÷ 8 = 6
L’opération peut s’écrire :8 × 6 = 48
8 et 6 sont les diviseurs de 48
48 est le multiple de 8 et 6
)4 × 16 = 64
4 et 16 sont les diviseurs de 64
64 est le multiple de 4 et 16
56
=4
14
L’opération peut s’écrire :14 × 4 = 56
14 et 4 sont les diviseurs de 56
56 est le multiple de 14 et 4
!)
")7 × 11 = 77
7 et 11 sont les diviseurs de 77
77 est le multiple de 7 et 11
Exercice 2 :
)8estundiviseurde192
Vrai car 8 × 24 = 192
)65estunmultiplede9
Faux car 65 ÷ 9 = 7,22
)4estdivisiblepar8
Faux car 8estdivisiblepar4
Ici 4 est un diviseur de 8
!)18estdivisiblepar6
Vrai car 18 ÷ 6 = 3
")3estunmultiplede18
Faux car 3 est un diviseur de 18
')9estdivisiblepar27
Faux car 9 est un diviseur de 27
() 42 est un multiple de 6
Vrai car 6 × 7 = 42
ℎ)5estundiviseurde25
Vrai car 5 × 5 = 25
*)52estdivisiblepar13
Vrai car 52 ÷ 13 = 4
+)64estundiviseurde8
Faux car 8 est un diviseur de 64
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Q1 – PGCD (cours + exercices)
Exercice 3 :
2
3
4
5
6
9
10
63
147
4 212
2 584
6 755
5 813
1 460
177
Exercice 4 :
a) 35 est divisible par : 1, 5, 7, 35 35 n’est pas un nombre premier
b) 41 est divisible par : 1, 41 42 est un nombre premier
c) 292 est divisible par : 1, 2, 4, 73, 146, 292 292 n’est pas un nombre premier
d) 139 est divisible par : 1, 139 139 est un nombre premier
e) 16 est divisible par : 1, 2, 4, 16 16 n’est pas un nombre premier
f) 39 est divisible par : 1, 3, 13, 39 39 n’est pas un nombre premier
g) 461 est divisible par : 1, 461 461 est un nombre premier
Exercice 5 :
a) 15 et 33
15 est divisible par 1, 3, 5, 15
33 est divisible par 1, 3, 11, 33
Leur plus grand diviseur commun est 3 donc 15 et 33 ne sont pas premiers entre eux.
b) 67 et 13
67 est divisible par 1, 67
13 est divisible par 1, 13
Leur plus grand diviseur commun est 1 donc 67 et 13 sont premiers entre eux.
c) 40 et 28
40 est divisible par 1, 2, 4, 10, 40
28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14, 28
Leur plus grand diviseur commun est 4 donc 40 et 28 ne sont pas premiers entre eux.
d) 147 et 12
147 est divisible par 1, 3, 49, 147
12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12
Leur plus grand diviseur commun est 3 donc 147 et 12 ne sont pas premiers entre eux.
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Q1 – PGCD (cours + exercices)
Exercice 6 :
48
)
18
48 est divisible par 1, 2, 3, 6, 8, 16, 24, 48
18 est divisible par 1, 2, 3, 6, 9, 18
Leur plus grand diviseur commun est 6
48 48 ÷ = >
=
=
18 18 ÷ = ?
)
130
78
130 est divisible par 1, 2, 5, 10, 13, 130
78 est divisible par 1, 2, 3, 26, 39, 78
Leur plus grand diviseur commun est 2
130 130 ÷ B =A
=
=
78
78 ÷ B
?C
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6
)
243
15
243 est divisible par 1, 3, 9, 27, 81, 243
13=5 est divisible par 1, 3, 5, 15
Leur plus grand diviseur commun est 3
243 243 ÷ ? >@
=
=
A
15 ÷ ?
15