Exercice I Exercice II Exercice III : la fusée de détresse

Première ES2
Devoir maison n°4
A remettre le mercredi 12/01/2011
Exercice I
Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x=5 .
1-
a-Calculer le taux de variation de f entre 3 et 3h .
b-Que devient cette expression quand h tend vers 0 ?
En déduire le nombre dérivée de f en 3 .
2-
a-Reprendre la question 1 avec la fonction f  x=3×x2
b-Reprendre la question 1 avec la fonction f  x=x 2
Exercice II
Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x=x 2−x
1-Vérifier que f 1h−f 1=h 2h
2-En déduire le taux de variation de f entre 1 et 1h .
3-Quel est le nombre dérivé de f en 1 ?
4-Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 ?
Exercice III : la fusée de détresse
Lors d'un naufrage, le capitaine d'un bateau tire une fusée de détresse verticalement à l'instant t=0 .
Cette fusée s'élève suivant la loi horaire : y t =39,2×t−4,9×t 2
y t  désigne l'altitude de la fusée en mètres à l'instant t en secondes.
1- Quelle est l'altitude de la fusée après 1 seconde ?
2-Expliquer pourquoi le taux de variation de y entre 1 et 1h correspond à la vitesse moyenne
entre ces deux instants.
3- Compléter le tableau suivant. On pourra utiliser le menu Table de la calculatrice. On arrondira les
valeurs au millième. Pour avoir les valeurs avec le plus de précision, il faut déplacer le curseur sur
les nombres concernés.
h
1
0,1
0,01
1h
y 1h
y 1h− y 1
 y 1h− y 1/ h
4-En déduire la vitesse de la fusée après 1 seconde.
5-Calculer la vitesse de la fusée à l'instant t. En déduire la vitesse initiale.
1/2
0,001
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A remettre le mercredi 12/01/2011
6-Déterminer à quel instant la vitesse a diminué de moitié. À quelle altitude est alors la fusée ?
7-Que se passe-t-il à l'instant t =4s ? À l'instant t=8s ? Justifier.
Exercice IV
Le coût de fabrication d'un produit , en euros, est donné par C x=x3−100x 23000x2000 où x
désigne la quantité de produit fabriqué en tonnes ( x compris entre 0 et 60). Le prix de vente d'une
tonne de produit est de 500 euros.
1) Déterminer le coût marginal C 'x  en fonction de x .
2) Montrer que le coût marginal est égal au prix de vente unitaire si on produit une quantité x telle
que : 3×x 2−200×x2500=0 E
Propriété : Si f  x=ax 2bxc , alors f s'écrit sous la forme f  x=a×x−α 2β avec :
b
∆
α=−
et β= f α et β=−
avec ∆=b 2−4ac
2a
4a
2
3) Montrer que : 3×x 2−200×x2500=3×x− 100  − 2500
3
3
5) Montrer que résoudre l'équation E revient à résoudre l'équation E ' :
100 2 2500
x−
=
3
9
6) En déduire les deux solutions de l'équation E .
7) Exprimer en fonction de x le revenu R  x obtenu pour la vente de x tonnes de produit.
8) Les courbes représentant la fonction C et la fonction R sont données ci dessous. Interpréter
graphiquement les solutions de l'équation E
Fin du sujet.
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