Contrôle de statistiques – Matin Sujet 2

Contrôle de statistiques – Matin
Sujet 2
L2 d’économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
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Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones
portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées
et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L’énoncé doit impérativement être
rendu avec la copie.
Exercice 1 (6 points)
Bruno est sur le bord d’un circuit d’essai automobile, il comptabilise les voitures qui passent mais n’est
pas toujours sûr de ses comptes. Il a remarqué qu’il y a 5 marques de voitures différentes, et l’univers
de l’expérience Ω est l’ensemble des voitures observées. Ferrari, Lamborghini et Porsche produisent
uniquement des voitures de sport, Bentley uniquement des voitures de luxes tandis qu’Audi produit
des voitures de luxes et des voitures de sports. Ferrari et Lamborghini sont des marques italiennes.
Bruno est sûr d’avoir observé :
•
1
9
de Lamborghini ;
•
2
9
de voitures italiennes (Lamborghini et Ferrari) ;
•
2
3
de voitures de sports ;
•
1
4
d’Audi.
Dans la suite de l’exercice, on cherche à savoir quelle probabilité a Bruno d’observer une marque et un
type de voiture quand il en entend une arriver.
Question 1 Que doivent vérifier les proportions de Bentley, Porsche, de voiture de luxes et de voitures
de sports pour définir une probabilité (que l’on notera P) ?
Question 2 Bruno a aussi remarqué qu’il y a 3 fois plus de Porsche que d’Audi sportives sur le
circuit. Donner les probabilités suivantes : P({Porsche}), P({Audi sportives}), P({Audi luxueuses})
et P({Bentley}).
Exercice 2 (8 points)
Marion range ses chaussettes en vrac dans son tiroir. Elle dispose de 4 paires de chaussettes rouges, 3
paires bleues, 6 paires jaunes et 7 paires vertes.
Question 1 En tirant deux chaussettes au hasard de son tiroir, quelle probabilité a-t-elle de former
une paire ? Donner l’univers de l’expérience.
Question 2 Elle a maintenant besoin de chaussettes pour elle et sa sœur jumelle, de sorte qu’elle
en tire 4 dans son tiroir. Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir les 4 chaussettes de la même couleur ?
Donner le nouvel univers de l’expérience.
Question 3 Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir au moins une chaussette rouge, une chaussette verte
et une chaussette bleue ?
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Question 4 Sa sœur jumelle aime beaucoup le rouge, elle aimerait donc en obtenir au moins 2
chaussettes rouges pour sa sœur. Quelle probabilité a-t-elle d’y arriver ?
Question 5 A défaut de pouvoir obtenir des paires de chaussettes, Marion et sa sœur aiment mettre
des chaussettes de la même couleur, mais aussi se différencier entre elles. Quelle probabilité Marion
a-t-elle d’obtenir exactement 2 couleurs de chaussettes, avec 2 chaussettes par couleur ?
Question 6 (bonus) Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir au moins une paire en tirant 4 chaussettes ?
Exercice 3 (6 points)
Un ami d’Alan Turing, employé des services secrets britanniques, essaie de faire le point sur les capacités
de sa machine MaEnig à déchiffrer des messages codés. Le service sait que l’ennemi utilise trois clés
possibles (C1, C2 et C3) pour chaque message. La répartition des messages codés entre les trois clés se
fait dans les proportions suivantes : 50 % pour la clé C1 ; 30 % pour la clé C2 et 20 % pour la clé C3.
Les messages chiffrés peuvent être de trois natures. Ainsi :
• Les probabilités qu’un message soit de nature militaire sont de 0,5 lorsque C1 est utilisé
; de 0,1 lorsque C2 est utilisé et de 0,2 lorsque C3 est utilisé.
• Les probabilités qu’un message soit de nature civile sont de 0,2 lorsque C1 est utilisé ;
de 0,3 lorsque C2 est utilisé et de 0,1 lorsque C3 est utilisé.
• Dans les autres cas, le message n’a pas d’importance (nature insignifiante).
Question 1 Quelle est la probabilité que le message soit de nature militaire pour un message pris au
hasard ?
Question 2 Sachant que le message intercepté est de nature militaire, quelle est la probabilité que la
clé C2 ait été utilisée ? (résultat sous forme de fraction)
Question 3 Quelle est la probabilité que le message ne soit pas de nature militaire pour un message
pris au hasard ?
Question 4 Quelle est la probabilité que le message soit civil pour un message pris au hasard ?
Question 5 Sachant que le message décodé est insignifiant, quelle est la probabilité que le message ait
été codé avec C1 ou C2 (explicitez) ? Le résultat peut être donné arrondi ou sous forme de fraction.
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