Logique Formelle et Programmation Logique

Acquisition, Représentation et Traitement des Connaissances
4ème Année 2003-2004
Contrôle des connaissances
Durée : 1 heure 30
Tous les documents sont autorisés, les calculatrices également.
Les réponses justes sont en rouge.
Le sujet est en 5 exercices que vous réaliserez "au brouillon".
Vous fournirez vos réponses sur la feuille de QCM qui vous est distribuée en
accompagnement en cochant les cases correspondant aux bonnes réponses.
Pour chaque question, il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs bonnes réponses. Cocher des
réponses fausses peut entraîner des points négatifs. Vous aurez aussi à fournir un
schéma de réseau sémantique au dos de la feuille QCM (exercice 5).
Remplissez la feuille QCM avec beaucoup d'attention et de soin, et n'oubliez pas les
détails administratifs :
remplir soigneusement l’en-tête du QCM : tout en-tête qui ne sera pas
intégralement rempli entraînera la note zéro. Le numéro désigné par le vocable
« code réglementaire » correspond à votre numéro de dossier (présent sur votre
carte d’étudiant).
Exercice 1.
Logique des défauts.
u(x) : v(x)
où u(x), v(x), w(x) sont des formules
w(x)
de la logique des prédicats qui contiennent x comme variable libre.
Sa signification est : si u(x) est connu et v(x) consistant avec ce qui est connu, alors
inférer w(x).
Un défaut est dit ‘normal’ lorsque v(x) et w(x) sont identiques. Par exemple :
canard(x) : jaune(x)
jaune(x)
se lira : « si x est un canard et s’il est consistant de croire qu’il est jaune, alors inférer
que x est jaune » ; ou encore : « un canard est jaune, sauf exception » ; ou encore :
« en général, un canard est jaune ».
Rappel : un défaut est de la forme
Considérons la base de connaissances suivante :
- (D1) : en général, les mammifères ne volent pas;
- (D2) : en général, les chauve-souris volent;
- (R1) : les vampires sont des mammifères;
- (R2) : les chauve-souris sont des mammifères ;
- (F1) : Dracula est un vampire ;
- (F2) : Stuart est une chauve-souris.
Soit U l'ensemble : {(∀x) ( V(x) ⊃ M (x)) ; (∀x) ( CS(x) ⊃ M (x)) ; V(D) ; CS(S) } .
Anne-Marie Kempf
Janvier 2004
[ Nous avons utilisé des abréviations évidentes pour la définition des prédicats ! ]
Appelons d l'ensemble { D1 , D2 }.
(U, d) est la théorie de défauts qui représente exactement la base de connaissances
donnée.
Alors :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(U, d) n’a pas d’extension
(U, d) a une extension
(U, d) a deux extensions
(U, d) a n > 2 extensions
Dracula vole
Dracula ne vole pas
Il y a ambiguïté : Dracula vole ou ne vole pas, selon l’extension
considérée
(8) Stuart vole
(9) Stuart ne vole pas
(10) Il y a ambiguïté : Stuart vole ou ne vole pas, selon l’extension
considérée
Solution.
M(x) :¬vol(x)
.
¬vol(x)
CS(x) : vol(x)
Le défaut D2 s’écrit :
.
vol(x)
En appliquant D1 aux objets de U, on obtient ¬vol(D) .
En appliquant D1 une nouvelle fois, on obtient ¬vol(S) .
D2 n’est alors pas applicable et on a une première extension :
U ∪ { ¬vol(D) , ¬vol(S) }.
Si maintenant on applique aux objets de U une fois le défaut D1 puis une fois le
défaut D2 , on obtient une seconde extension :
U ∪ { ¬vol(D) , vol(S) }.
(on vérifie bien ici qu’on ne peut plus appliquer ni D1 , ni D2).
On peut aussi vérifier que l’ordre des défauts est ici sans importance. Il n’y a donc
pas d’autre extension.
Le défaut D1 s’écrit :
Exercice 2.
Logique des Défauts.
Dans la suite, A, B et C sont des constantes.
Considérons le monde W = { B , ¬A } et la règle de défaut D :
(11)
(12)
(W, D) n’a pas d’extension
(W, D) a une extension
Anne-Marie Kempf
:A
.
C
Janvier 2004
Solution.
¬A et A sont inconsistants.
Considérons le monde W = { B , A } et la règle de défaut D :
(13)
(14)
(15)
(W, D) n’a pas d’extension
(W, D) a une extension
(W, D) a 2 extensions
A:B
.
C
Solution.
L’extension est { B , A , C }
 A : B B : C B :¬C 
Considérons le monde W = { A } et les règles de défaut D : 
,
,
.
 B
C
¬C 
(16) (W, D) n’a pas d’extension
(17) (W, D) a une extension
(18) (W, D) a 2 extensions
Solution.
Les deux premiers défauts donnent l’extension { A , B , C }.
Le 1er et le 3ème défauts donnent l’extension { A , B , ¬C }.
Considérons le monde W = { B ⊃ ¬(A∨C)} et les règles de défaut
 : A : B : C
D: 
,
,
 .
 A
B
C 
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(W, D) possède 1 extension
(W, D) possède 2 extensions
(W, D) possède n>2 extensions
¬B appartient à une extension de (W,D)
B appartient à une extension de (W,D)
Si B appartient à une extension de (W,D), alors ¬A et ¬C aussi
Si ¬B appartient à une extension de (W,D), alors A et C aussi
Si B appartient à une extension de (W,D), alors A et C aussi
Si ¬B appartient à une extension de (W,D), alors ¬A et ¬C aussi
Solution.
L’expression B ⊃ ¬(A∨C) est vraie lorsque B est faux et aussi lorsque B et ¬(A∨C)
sont vrais.
Dans le 1er cas, il est consistant de croire que A et C sont vrais (leur valeur de vérité
est sans importance) et B est faux (donc ¬B vrai). De sorte que les défauts 1 et 3
sont applicables, mais pas 2.
Et nous avons la 1ère extension : W ∪ { ¬B , A , C }.
Dans le second cas, A et C sont faux (donc ¬A et ¬C sont vrais) et B vrai ; le défaut
2 s’applique donc, même s’il ne nous apprend rien !
Et nous avons la 2ème extension : W ∪ { B , ¬A , ¬C }.
Il est clair qu’il n’y a pas de 3ème possibilité.
Anne-Marie Kempf
Janvier 2004
Exercice 3.
Apprentissage automatique
Soit le paquet de règles de discrimination suivant :
Si x = vrai et z = vrai , Alors t = vrai
Si y = vrai et z = vrai , Alors t = vrai
Sinon t = faux
où toutes les variables x, y, z et t sont binaires.
Le(s)quel(s) des codes génétiques suivants respecte(nt)-il(s) la méthode de codage
des règles de GABIL ?
(28) 10 10 10 10
(29) 10 11 10 10 11 10 01 01 01 01 11 01 11 10 01 10
(30) 10 11 10 11 10 10
Le(s)quel(s) des réseaux de perceptrons suivant(s) est(sont)-il(s) équivalent(s) au
paquet de règles ? (on code vrai en 1 et faux en –1)
1
1
1
x
1
-1
y
1
y
x
t
2
1
1
x
1
1
1
1
1
0
-1
t
y
z
z
z
1
1
0
1
1
1
1
-1
1
t
-1
1
(31)
(32)
(33)
le 1er réseau à partir de la gauche
le réseau du milieu
le 3ème réseau à partir de la gauche
Solution.
L’application directe de la méthode de codage de Gabil (voir encadré dans le poly)
donne la réponse 30.
Pour vérifier que les 3 réseaux représentent effectivement les règles données, on
peut banalement faire le tableau des calculs effectués par les neurones.
Les mêmes résultats seraient-ils vrais si on codait vrai en 1 et faux en 0 ?
Exercice 4.
Sous-ensembles flous.
Soient A, B, C, D, E des sous-ensembles flous de l’ensemble X.
On notera P’ le complémentaire dans X du sous-ensemble flou P et P’’ le
complémentaire de P’ dans X.
Anne-Marie Kempf
Janvier 2004
On rappelle que µP’(x) = 1-µP(x).
Alors :
(34) A’’ = A
(35) ( A ∪ B )’ = A’ ∪ B’
(36) A ∩ (B ∪ C) = (A’ ∪ (B’ ∩ C’))’
(37) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) mais, en général,
A ∩ (B ∪ C) ≠ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(38) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(39) D’ ∪ E = (D ∩ E) ∪ D’
(40) (A ∪ D) ∩ (A’ ∪ D) ⊂ D
(41) (A ∪ D) ∩ (A’ ∪ D) ⊃ D
Solution.
Pour plus de commodité, je vais noter ici a pour µA(x) , a’ pour µA’(x) et a’’ pour
µA’’(x).
Je noterai a v b pour µA ∪ B(x) et a∧ b pour µA ∩ B (x) .
Tout l’exercice repose sur les calculs de bornes supérieures ( v ) et inférieures (∧ ).
(34) : 1 - ( 1- a) = a
(35) : (a v b )’ = 1 – sup ( a , b ) = inf ( 1-a , 1-b )
(36) : 1 – (a’ v (b’ ∧ c’)) = 1 – sup ( 1-a, inf (1-b , 1-c))
= inf ( 1-1+a , 1- inf ( 1-b , 1-c ))
= inf ( a, sup ( 1-1+b , 1-1+c ))
= inf ( a, sup ( b , c ))
= a ∧ (b v c )
(37) et (38) : a v (b ∧ c) = (a v b) ∧ (a v c)
a ∧ (b v c) = (a∧b) v (a∧c)
(39) : nous avons à l’évidence une inclusion : (D ∩ E) ∪ D’ ⊂ D’ ∪ E .
Mais l’égalité n’est pas vraie : il suffit pour le vérifier de choisir de faire varier x dans
le segment [0,1] , de prendre µE (x) constante, par exemple égale à 0,8 et µD (x)
linéaire croissante de 0 à 1 pour x croissant de 0 à 1. Pour x = 1/2 nous pouvons
calculer :
Sup ( inf ( µD (x) , µE (x) ),1 - µD (x)) = 0,5
Sup ( 1 - µD (x) , µE (x) ) = 0,8 .
(40) et (41) : à l’évidence, (a v d) de même que ((1-a) v d) sont supérieurs ou égaux
à d ; de sorte que l’inf des deux est lui-même supérieur ou égal à D et (41) est vrai.
Il est en revanche aisé de trouver un contre-exemple à (40) : prenons µA (x) linéaire
croissante de 0 à 1 pour x croissant de 0 à 1 et µD (x) = µA (x) – 0,1 pour x>0,1 et nul
sinon.
Exercice 5.
Réseaux sémantiques.
Dessinez au dos de la feuille QCM le réseau sémantique représentant l’ensemble
des connaissances suivantes :
- tout prédateur effraie sa proie
- les chats sont des prédateurs pour les oiseaux
- « Matou » est un chat qui effraie l’oiseau « Piaf »
Anne-Marie Kempf
Janvier 2004
Anne-Marie Kempf
Janvier 2004