Centrifugeuse de laboratoire

Sciences Industrielles de l’Ingénieur
CPGE - Saint Stanislas - Nantes
TD : Centrifugeuse de laboratoire
Présentation du problème
Mise en situation et description
Le système étudié est une centrifugeuse de laboratoire
destinée à la séparation de liquides mélangés dans des éprouvettes
mais de masses volumiques différentes.
Il s’agit d’éprouvettes insérées dans deux supports 2 lesquels
sont articulés horizontalement sur un rotor 1 lui-même articulé
verticalement par rapport au bâti 0.
Modélisation et paramétrage
La modélisation adoptée est donc la suivante :
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Le rotor 1 est en liaison pivot d’axe (O, Y1 ) = (O, Y0 ) avec
le bâti 0.
Le support 2 et les éprouvettes
fixées
sur ce support sont en
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liaison pivot d’axe (A, Z1 ) = (A, Z2 ) avec le rotor 1.
R
2
Y0 Y1
1
Y2
On choisit le paramétrage
suivant :
α
Y1
X2
α
O
h
D’autre part on pose les
distances R, h et d telles que :
G EC
d
B
d
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OA = R. X1
θ
Y1
Y0
0
α : La position angulaire du
support 2 par rapport au rotor 1.
X1
A hG
h
θ : La position angulaire du
rotor 1 par rapport au bâti 0.
Z0
θ
Z1
X1
X0
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AB = − d. X2 − h. Y2
AC = + d. X2 − h. Y2
AE = − h. Y2
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AG = − hG. Y2
Objectif du problème
Le cahier des charges de cette centrifugeuse précise notamment que lorsque la centrifugeuse est en
régime stabilisé :
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L’accélération axiale au centre de gravité G de toutes les l’éprouvettes ( ΓG∈2/0 . Y2 ) doit être de
5.g ( 5 fois l’accélération gravitationnelle 5 x 9,81 m.s−2)
Au fond des éprouvettes la différence d’accélération axiale entre les éprouvettes situées à
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l’extérieur (en C) et celles situées à l’intérieure (en B) ( ΓC∈2/0 . Y2 − ΓB∈2/0 . Y2 ) ne doit pas
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excéder 10% de l’accélération axiale au fond de l’éprouvette située au centre (en E) ΓE∈2/0 . Y2
Le but de l’étude est de vérifier ce deuxième point du cahier des charges lorsque le premier point est
vérifié. Pour cela on donne les résultats de l’étude dynamique effectuée au préalable.
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CPGE - Saint Stanislas - Nantes
Travail demandé
1- Vecteurs rotation
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Déterminer les expressions dans la base R2 = ( X2 , Y2 , Z2 ) des taux de rotation Ω1/0, Ω2/1, et Ω2/0.
2- Vecteurs vitesses
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2.1- Déterminer l’expression dans la base R2 = ( X2 , Y2 , Z2 ) de VB∈2/0 le vecteur vitesse du point B
appartenant au support 2 par rapport au bâti 0. On procédera par composition des vitesses.
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2.2- Par similitude (sans faire de calcul) donner les expressions dans la base R2 = ( X2 , Y2 , Z2 ) de :
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VC∈2/0 le vecteur vitesse du point C appartenant au support 2 par rapport au bâti 0.
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VE∈2/0 le vecteur vitesse du point E appartenant au support 2 par rapport au bâti 0.
3- Vecteurs accélérations
3.1- Par dérivation vectorielle de l’expression obtenue à la question 2.3, déterminer l’expression de
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ΓB∈2/0 le vecteur accélération du point B appartenant au support 2 par rapport au bâti 0. Etant donné la
complexité des expressions, on privilégiera une écriture en colonne des vecteurs.
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3.2- Par similitude (sans faire de calcul) donner les expressions dans la base R2 = ( X2 , Y2 , Z2 ) de :
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ΓC∈2/0 le vecteur accélération du point C appartenant au support 2 par rapport au bâti 0.
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ΓE∈2/0 le vecteur accélération du point E appartenant au support 2 par rapport au bâti 0.
4- Vérification du cahier des charges
•
4.1- On se place en régime stabilisé : Le rotor 1 tourne à vitesse constant de ω = θ et le support 2 est
immobile par rapport au rotor 1. En déduire dans ce cas particulier, les expressions des accélérations
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axiales des points B, E et C : ΓB∈2/0 . Y2
ΓB∈2/0 . Y2
et :
ΓC∈2/0 . Y2
4.2- Une étude dynamique permet de montrer que pour respecter le premier point du cahier des
charges, le rotor doit tourner en régime stabilisé à la fréquence de rotation de 240 tr/min, et qu’alors
l’inclinaison du support 2 est de α = 79°. Sachant que l’on a : R = 50 mm, h = 38 mm et d = 21 mm,
vérifiez que dans ces conditions le deuxième point du cahier des charges est bien vérifié.
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