Equations du 1er degré à une inconnue

Equations à 1 inconnue
Equations du 1er degré à une inconnue
RESOLUTION D'UNE EQUATION
Objectifs :
Acquérir des techniques de résolution des équations.
Résoudre des problèmes issus de la vie courante et des situations techniques
et professionnelles.
EQUATION DU 1er DEGRE A UNE INCONNUE
Définitions
Une équation du 1er degré à une inconnue est une égalité dans laquelle figurent des nombres
réels, des opérateurs (+, -, /, x) et une lettre au 1er degré (x, m , t, …) représentant notre
inconnue.
Exemples :
3x + 2 = 5
2(m – 3) + 4 = 3(2m + 1)
2t − 1
= 4t
3
x est l'inconnue
m est l'inconnue
t est l'inconnue
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vérifiée.
Exemples :
Dans l'équation 3x + 2 = 5 remplaçons x par des valeurs numériques.
Si x = 2 alors 3x + 2 =3x2 + 2 = 8
Si x = 0 alors 3x + 2 =3x0 + 2 = 2
Si x = 1 alors 3x + 2 =3x1 + 2 = 5
l'égalité n'est pas vraie.
l'égalité n'est pas vraie.
l'égalité est vraie.
x = 1 est la solution de l'équation 3x + 2 = 5
Cette approche est trop liée au facteur chance. Nous allons aborder une méthode qui
s'applique à toutes les équations du 1er degré à une inconnue et qui permet de résoudre les
équations à "coup sûr".
Maths
1/4
Equations à 1 inconnue
Règle 1
Lorsqu'on ajoute (ou retranche) un même terme ou nombre aux deux membres d'une égalité,
on obtient une égalité.
Exemple :
Résoudre l'équation 4x-3 = 9
Si 4x-3 = 9 alors
on a (4x-3) +3 = 9 +3 ici on ajoute le nombre 3 aux deux membres
soit 4x = 12
Règle 2
Lorsqu'on multiplie (ou divise par un nombre non nul) les deux membres d'une égalité par un
même nombre, on obtient une égalité.
Exemple :
Résoudre l'équation 4x = 12
Si 4x = 12 alors
on a
4x 12
=
4
4
ici on divise les deux membres par le nombre 4
soit x = 3
Applications
1) Résoudre l'équation : 2(m – 3) + 4 = 3(2m + 1)
Il faut d'abord développer et réduire l'équation :
2xm – 2x3 + 4 = 3x2m + 3x1
2m – 6 + 4 = 6m + 3
2m – 2 = 6m + 3
On applique la Règle 1 en ajoutant le nombre 2 aux deux membres
2m – 2 + 2 = 6m + 3 + 2 devient
2m = 6m + 5
On applique la Règle 1 en retranchant le terme 6m aux deux membres
2m - 6m = 6m + 5 - 6m devient
-4m = 5
On applique la Règle 2 en divisant les deux membres par le nombre -4
− 4m
5
=
donc
−4
−4
5
m=4
Maths
2/4
Equations à 1 inconnue
2) Résoudre l'équation :
2t − 1
= 4t
3
On applique la Règle 2 en multipliant les deux membres par le nombre 3
2t − 1
3x
= 3x4t devient
3
2t – 1 = 12t
On applique la Règle 1 en ajoutant le nombre 1 aux deux membres
2t – 1 + 1 = 12t + 1 devient
2t = 12t + 1
On applique la Règle 1 en retranchant le terme 12t aux deux membres
2t - 12t = 12t + 1 - 12t devient
-10t = 1
On applique la Règle 2 en divisant les deux membres par le nombre - 10
− 10t
1
=
donc
− 10
− 10
1
t=10
Méthode de résolution de l'équation du 1er degré à une inconnue
Développer et réduire les deux
membres de l'équation.
Appliquer les règles 1 et 2
pour mettre l'équation
sous la forme : ax = b
Appliquer la règle 2
pour résoudre l'équation :
b
x = avec a ≠ 0
a
Applications concrètes
Exemple 1
Un vidéo-club propose la location de DVD vidéo à 3 € le film. Un client a payé 21 € pour x
DVD. Combien le client a-t-il loué de DVD ?
Ecrivons l'équation : on sait qu'un DVD en location coûte 3 € et que le client a payé 21 €.
Maths
3/4
Equations à 1 inconnue
L'équation s'écrit : 3x = 21
On applique la Règle 2 en divisant les deux membres par le nombre 3
3x
21
=
donc x = 7 Le client a donc loué 7 DVD vidéo.
3
3
Exemple 2
Un vidéo-club propose la location de DVD vidéo à 2 € le film plus un abonnement annuel de
20 €. Un client a payé 120 € pour l'année (abonnement inclus). Combien le client a-t-il loué
de DVD pour l'année ?
Ecrivons l'équation : on sait qu'un DVD en location coûte 2 €, avec 20 € d'abonnement et que
le client a payé 120 €.
L'équation s'écrit : 2x + 20 = 120
On applique la Règle 1 en retranchant le nombre 20 aux deux membres
2x + 20 - 20 = 120 - 20 devient
2x = 100
On applique la Règle 2 en divisant les deux membres par le nombre 2
2x 100
=
donc x = 50 Le client a donc loué 50 DVD vidéo pour l'année.
2
2
Exemple 3
Les pêcheurs ont la possibilité de passer des journées au bord de l’étang.
Le tarif est le suivant : Un forfait de 180 € pour l'année et 7,50 € la journée.
Monsieur MARTIN a payé 337,50 € pour l'année et Monsieur DURAND a réglé 270 € pour
l'année.
Combien de journées Mr MARTIN et Mr DURAND ont-ils pêché au bord de l’étang ?
On nomme x le nombre de journées
Mr MARTIN
Equation : 7,5x + 180 = 337,5
7,5x + 180 - 180 = 337,5 - 180 (règle 1)
7,5x = 157,5
7,5 x 157,5
=
(règle 2)
7,5
7,5
x = 21
Mr MARTIN a passé 21 journées
Maths
Mr DURAND
Equation : 7,5x + 180 = 270
7,5x + 180 – 180 = 270 - 180 (règle 1)
7,5x = 90
7,5 x
90
=
(règle 2)
7,5
7,5
x = 12
Mr DURAND a passé 12 journées
4/4