doc-ti-laplace-routh-acst

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ANNEXE-2
TRANSFORMÉE DE LAPLACE ET TRANSFORMÉE INVERSE DE LAPLACE
TI-89/92/92+
[A2-1]. DESCRIPTION
La librairie de fonctions concernant la transformée de Laplace et son inverse a été
développée par Lars Frederiksen sur la TI-89 (voir écran ci-dessous à gauche).
Néanmoins, elle fonctionne bien sur la TI92+. Elle permet de réaliser plusieurs fonctions
dont celles de Laplace et inverse de Laplace. Cette librairie est dotée des fonctions
« SolveD » et « SimultD » qui permettent la solution d’équation différentielle et
d’équations différentielles multiples. En tapant « help( ) » vous accédez au programme
d’aide décrit par l’écran ci-dessous à droite. Ce programme d’aide fournit la syntaxe
ainsi qu’un exemple d’utilisation pour chaque fonction.
[A2-2]. EXEMPLE D’UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Les fonctions d’entrée, ainsi que l’échelon u(t) peuvent intégrer un retard
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ANNEXE A-3
AUTOMATIC CONTROL SYSTEM TOOLBOX v.3.0
TI-92+
[A3-1].DESCRITPTION :
La boite à outil « Automatic Control System Toolbox v3.0 » a été développée par G.Luca
Troiani [Copyright (C) 2000 92BROTHERS]. Elle est du domaine publique, et on peut
la télécharger à partir du site de la TI-92+ ou bien à partir du site web du
cours (http://www.gpa.etsmtl.ca/cours/gpa535).
Le fichier ACST.zip contient le
programme en langage basic contenant toutes les fonctions et programmes en langage
« Basic » qui fonctionnent à l’intérieur de la plate-forme ACST. Cette boite à outil est
automatiquement téléchargée dans le répertoire asct. Pour démarrer cette boite à outil il
suffit de taper sur la ligne de commande de la TI-92+ l’expression suivante : asct().
Attention, les parenthèses ouvrante et fermante sont importantes on obtient alors l’écran
suivant :
En appuyant sur la touche « enter » on se retrouve avec une fenêtre de saisie avec un
message d’invite qui ressemble beaucoup à celui de MATLAB.
En tapant « help » sur la ligne de commande on obtient la liste de toutes les fonctions
disponibles dans cette boîte à outil.
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[A3-2]. EXEMPLE D’UTILISATION
On peut facilement créer une fonction de transfert dans la TI-92+ grâce à la commande
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« tf ». Soit à créer la fonction de transfert suivante : G(s) = 2
,
s + 2.6s + 4
Alors il suffit de taper :
Ici LTI signifie (Linear Time Invariant) avec un délai nul. Cette fonction est créée en
mémoire. Si on veut évaluer la réponse à un échelon d’un système asservi régit par cette
fonction de transfert, alors on utilise la commande « step(G,3.5) » ou 3.5 signifie la durée
en seconde pour la représentation de la fonction G(s). En choisissant une résolution
graphique médium on obtient :
Plusieurs touches de fonction nous permettent d’avoir accès au graphique par
l’intermédiaire de curseur tel que la touche « F3 »
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Dans cette figure le curseur est fournit avec ces coordonnées (xc,yc) en coordonnées
réelles. Ceci a l’avantage de mesurer la constante de temps, la valeur maximale du
signal, le temps du premier maximum, etc…
De la même manière nous pouvons obtenir la réponse en fréquence de la fonction par le
diagramme de Bode en utilisant la commande suivante « bode(G) ». On obtient alors
Nous pouvons aisément analyser sur ce graphe les valeurs les marges de gain et de phase
de cette fonction pour évaluer sa stabilité.
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ANNEXE A-4
CRITÈRE ROUTH-HURWITZ POUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES ET
INVARIANTS DANS LE TEMPS (S.L.I.T.)
TI-/89/92/92+
[A4-1]. DESCRITPION
La fonction « Routh » proposé dans cette annexe provient du site général de la TI. Elle a
été développé originalement par Francesco Orabona à l’intérieur d’une boite à outil du
domaine des systèmes asservis (CT v1.05; Control's toolbox v1.05 for TI-89; 1/11/2002;
copright (C) 2001-2002 Francesco Orabona.
Lorsque vous téléchargez cette fonction, elle se met automatiquement dans le répertoire
ct de votre TI-89/92+. La commande « Routh » effectue et trace le tableau de Routh pour
un polynôme caractéristique d’une fonction de transfert en boucle fermé. L’avantage de
la TI-92+ est son coté symbolique, ce qui permet à la fonction Routh de définir la limite
de la stabilité absolue ou bien relative d’une fonction de transfert d’ordre quelconque en
s. La fonction « Routh » proposée dans la boite à outil CT permet le calcul du tableau de
Routh aussi bien lorsqu’un pivot est nulle ou lorsque une ligne contenant un pivot est
entièrement nulle. Néanmoins il faut savoir que la fonction « Routh » n’interprète pas le
résultat c’est à l’utilisateur de déterminer les limites de la stabilité du système.
[A4-2]. EXEMPLE D’UTILISATION
Exemple –1 :
Dans le cas de polynôme caractéristique qui ne contient que des constantes numériques
alors la fonction « Routh » permet d’établir le tableau de Routh et c’est à vous de décider
de la stabilité absolue du système. Dans le cas qui suit la fonction g(s) est stable car la
première colonne du tableau de Routh ne contient que des nombres positifs. La syntaxe
de la fonction est simple : routh(d,s) ou d est un polynôme en s, on spécifie à routh le
nom de la variable s.
Exemple –2 :
Soit la fonction T(s) définie par : T (s) =
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s + 2s + 3s + 6s 2 + 5s + 3
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Dans le prochain exemple une ligne de pivot nul apparaît à la ligne s3.
La dernière ligne de s0 n’est pas représentée par l’écran mais contient le nombre +3. Pour
décider de la stabilité il faut faire tendre ε vers un zéro+. Le coefficient de la ligne
6ε − 7
représentée par l’expression
devient négatif : Alors le système est instable.
ε
Exemple-3 :
Nous allons voir ici un exemple ou toute une ligne s’annule. Soit la fonction T(s) définit
dans l’écran ci-dessus :
vous remarquerez que la fonction « routh » ne simplifie pas les lignes. La 2ème ligne
pourrait être divisée par 7. Néanmoins à partir on pourrait être tenté de conclure que le
système est stable. Alors attention d’après le tableau de « routh », on sait que lorsqu’il
n’y a pas de changement de signe alors il n’y a pas de racines dans le demi-plan droit du
plan complexe S. Néanmoins des racines sur l’axe imaginaire pur peuvent exister et
rendre le système marginalement stable. C’est bien le cas dans cet exemple : la troisième
ligne de s3 doit être nulle, mais la fonction « routh » remplace automatiquement cette
ligne nulle par le polynôme dérivé par rapport à s de la ligne précédente, qui donne le
résultat [ 28, 84, 0]. Puisque l’algorithme n’indique pas la présence de cette ligne nulle
(malgré qu’il effectue le bon calcul), le tableau peut nous induire en erreur lorsque nous
essayons de l’interpréter. Dans le cas présent le système est marginalement stable car il
possède 4 racines sur l’axe jω.
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Exemple-4 :
Dans le cas d’un polynôme caractéristique paramétré par une variable gain de type K. La
fonction « routh » montre les facteurs constituants les colonnes du tableau de Routh.
Dans l’exemple qui suit on s’aperçoit qu’il existe un pivot nul plus une variable K.
Le résultat comporte deux écrans de la TI :
On s’aperçoit que dans la première colonne apparaît le paramètre k ainsi que la variable
ε>0. Pour définir un intervalle de stabilité alors deux conditions doivent être respectées :
2k + 3(ε − 2) > 0
−(4k 2 + 3k(ε 2 + 2ε − 8) − 18(ε − 2)) > 0
ε → 0
Alors :
2k − 6 > 0
−(4k 2 − 24k + 36) > 0
La deuxième condition est équivalente à -(k-3)2>0 ce qui est toujours négatif le système
est donc instable.
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